【正文】 著適應性梯度向上擴散已經(jīng)在 [3] . Armsworth, . Roughgarden, The impact of directed versus random movement on population dynamics and biodiversity patterns, Am. Nat. 165 (20xx) 449– 。它已經(jīng)表明，在這個空間框架下明確的種群模型在空間變化看時間不變的環(huán)境下，只有無條件的擴散演化偏 向緩 具適應性的人口疏散模型的 整體解 5 慢的擴散。其中一些現(xiàn)象和其他生態(tài)的部分，定向?qū)闺S機移動和演化的擴散的影響，在兩個種群的模型【 3， 4】中被研究。 0 otherwise, 給出。這個模型有如下形式 ? ?? ?ux,fu????? ?tu on ? ???? ,0 , 與無通量邊界條件 ? ? 0, ??? n uxfu on ? ????? ,0 , 定義域 ? 是 NR 中的有界域，有光滑邊界 ?Ω， n 是在 ?Ω上的外向單位法向量， α是正常 數(shù)，用以衡量擴散強度的適應性梯度。我們將看到，隨著生物向適應性梯度移動的趨勢變大，這樣的分布近似于對應的擴散模型的平衡。 兩物種模型 最終我們計劃研究，演化穩(wěn)定的 理想自由擴散與其他擴散策略的比較。 理解半平凡平衡 ? ?0,~u ，這里 u~ 滿足 ()()是必須的并且是本文的主題 具適應性的人口疏散模型的 整體解 8 本文中我們將集中考慮 g=0 的情況 ` ? ?? ? ? ?? ?? ???????????????????????????0,),(,nvnvuxfuuvuxvfvvvuxufvuxufuutt????? () 初始條件 u(x,0),v(x,0)都是非負且不恒為零的在 ? 上， ??? , 都是正常數(shù) 本文考慮模型的 （ ）的一維空間情形，我們將證明 相應的一維模型存在唯一的整體古典解 具適應性的人口疏散模型的 整體解 9 2. 理論準備 為了 敘述和證明的方便起見 ,本節(jié)對模型研究過程中所用到的 一些 基本定 理及 空間先 作 些 說明（參考文獻 [1]， [2]） . 極值原理 設 (,)uxt 在 區(qū)域 ? ?,0TR x t T??? ? ? ?上連續(xù)，并且在 區(qū)域 內(nèi)部滿足 熱傳導方程，則它在 區(qū)域 的兩個側(cè)邊 ( x ?? 及 x ?? ,0 tT?? )及底邊 ( 0,tx??? ? ? )上取到其最大值和最小 值 . 換言之，如果以 T? 表示 TR 的兩側(cè)邊及底邊所組成的邊界曲線（通稱為拋物邊界），那么成立著： m a x ( , ) m a x ( , )TTR u x t u x t?? ， m in ( , ) m in ( , )TTR u x t u x t?? . 注：上述對熱傳導方程的極值原理，可推廣到如下一般的拋物型方程： 2 ( , ) ( , ) 0tu a u b x t u c x t u? ? ? ? ? ?， 其中 0c? . 比較原理 對一般方程來說，設 u 和 v 都是區(qū)域 ? 內(nèi)的函數(shù)，且在 ??上連續(xù) .如果在 ? 的邊界 ? 上成立著不等式 uv? ，那么在 ? 內(nèi)上述不等式也成立；并且只有在 uv? 時，在 ? 內(nèi)才會有等號成立的可能 . Holder空間 設 ? 是 nR 的有界區(qū)域 ,對于非負整數(shù) k , ()kC ? 表示所有在 ? 上 k 次連續(xù)可微的函數(shù)組成的空間 ,在其上賦予范數(shù)： 具適應性的人口疏散模型的 整體解 10 ? ?。d e fk ku D u?? ???? ?? ???? ? ???? 的函數(shù)組成的線性空間 , 在其上定義范數(shù)： ? ?。 。 在本文中我們假設 m∈ ??2C , ???? ，? ?1,0?? ，且 m在 Ω上可取正。 為此我們將原來的單物種模型發(fā)展到兩物種模型。 具適應性的人口疏散模型的 整體解 22 參考文獻 [1] H. Amann, Dynamic theory of quasilinear parabolic equations, II: Reaction–diffusion systems, Differential Integral Equations 3 (1990) 13–75. [2] H. Amann, Dynamic theory of quasilinear parabolic systems, III: Global existence, Math. Z. 202 (1989) 219–250. [3] . Armsworth, . Roughgarden, The impact of directed versus random movement on population dynamics and biodiversity patterns, Am. Nat. 165 (20xx) 449–465. [4] . Armsworth, . Roughgarden, Disturbance induces the contrasting evolution of reinforcement and dispersiveness in directed and random movers, Evolution 59 (20xx) 2083–2096. [5] F. Belgacem, Elliptic Boundary Value Problems with Indefinite Weights: Variational Formulations of the Principal Eigenvalue and Applications, Pitman Res. Notes Math. Ser., vol. 368, Longman Sci., 1997. [6] F. Belgacem, C. Cosner, The effects of dispersal along environmental gradients on the dynamics of populations in heterogeneous environment, Can. Appl. Math. Q. 3 (1995) 379–397. [7] . Brew, Competition and niche dynamics from steadystate dispersal equations, Theor. Pop. Biol. 32 (1987) 240–261. [8] . Brown, . Lin, On the existence of positive eigenfunctions for an eigenvalue problem with indefinite weight function, J. Math. Anal. Appl. 75 (1980) 112–120. [9] . Cantrell, C. Cosner, Spatial Ecology via Reaction–Diffusion Equations, Ser. Math. Comput. Biol., John Wiley and Sons, Chichester, UK, 20xx. 具適應性的人口疏散模型的 整體解 23 [10] . Cantrell, C. Cosner, . DeAngelis, V. Padr243。)(184。 developing that understanding is the goal of this paper. Further it is worth noting that dispersal processes that result in patterns embodying certain features of the ideal free distribution have been shown to be evolutionarily stable in discrete diffusion models。雖然按照各種擴散機理可以對所研究的模型進行分類，但是我們將來一個重要的目標是把具適應性的人口疏散模型的結(jié)果延伸到更多普遍的情況中去。 引理 假設 (u,v)是 ()的在時間區(qū)間 ? ?T,0 上的一個古典解，則 ? ? mtv ??? ,0 ， ? ?Tt ,0?? () ? ? ? ?? ?? ? ? ?,0,m a x, 11 0 Ttumtu LL ???? ?? () 其中 ? ?xmm max:?? 證明：首先由假設 ? ? ? ? 0,0 00 ?? xvxu 以及拋物方程 的最大值原理知： ? ? ? ?Tttxu ,0,0, ??? () ? ? ? ?Ttmtxv ,0,0 ???? () 再在 ()中的第一個方程兩邊關(guān)于 x在 (0,1)上積分得 ? ??? ??? 1010 dxvumuudxdtd ? ?? ?? 10 dxumu ?? ?? 10 210 dxuu d xm () 另一方面，由 Holder 不等式 得 具適應性的人口疏散模型的 整體解 15 ??? ???????? 10 210 2210 1 dxudxudx ?? 10 2dxu 將上式代入 ()得 2101010 ???????? ??? u d xu d xmu d xdtd () 令 ? ? ? ?dxtxuty ?? 10 , 則 ()可寫為 ? ? ? ? ? ?tytymty 2??? ? ? ? ? ? 111 ????????????? tymty 再令 ?? ??tytz 1? 推知 ? ? ? ? 1???? tzmtz ? ? ?? ? tmtm etze ??? ? ? ? ? ? ? ?110 ???? tmtm emztze ? ? ? ? ? mzemtze tmtm 101 ???? ? ? ? ? ? tmemzmtz ??????? ??? 101 ? ? ?? ? tmemymty??????? ??? 10111 ? ? ?? ?mu L ,max 10? 為敘述方便起見 ，一下我們不妨設 1??? ??? () 具適應性的人口疏散模型的 整體解 16 注意到 v 滿足如下方程 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????????????1,00,0,0,0,1,0,1201,0?Cxvxvtvtxvumvvvvxxxxt ? () 其中，由 ()和 ()有 ? ? ? ? ? ?11, ?????? Lvumvtxg () 從而，我們可以應用 [20,lemmal]，得到一下引理 引理 假設 (u,v)是 ()的在時間區(qū)間 ? ?T,0 上的一個古典解，則對任何 ????q1 ,存在某個常數(shù) C(q)，使得 ? ?? ? ? ? ? ?TtqCtv qLx ,0, ???? ? () 引理 假設 (u,v)是 ()的在時間 區(qū)間 ? ?T,0 上 的一個古典解，則對任何???? p2 ，存在某個常數(shù) C(p)，使得 ? ?? ? ? ? ? ?TtPCtu pL ,0, ???? ? () 證明 :由 ()中的 u一方程得 ?? ?? 10 110 dxuupdxudtd tpp ? ?? ? ? ?? ?? ??????? ?10 1 vumuvumuuup xxxxp ? ?? ???? 10 221 dxuupp xp