【正文】 著適應(yīng)性梯度向上擴(kuò)散已經(jīng)在 [3] . Armsworth, . Roughgarden, The impact of directed versus random movement on population dynamics and biodiversity patterns, Am. Nat. 165 (20xx) 449– 。它已經(jīng)表明，在這個(gè)空間框架下明確的種群模型在空間變化看時(shí)間不變的環(huán)境下，只有無條件的擴(kuò)散演化偏 向緩 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 5 慢的擴(kuò)散。其中一些現(xiàn)象和其他生態(tài)的部分，定向?qū)闺S機(jī)移動(dòng)和演化的擴(kuò)散的影響，在兩個(gè)種群的模型【 3， 4】中被研究。 0 otherwise, 給出。這個(gè)模型有如下形式 ? ?? ?ux,fu????? ?tu on ? ???? ,0 , 與無通量邊界條件 ? ? 0, ??? n uxfu on ? ????? ,0 , 定義域 ? 是 NR 中的有界域，有光滑邊界 ?Ω， n 是在 ?Ω上的外向單位法向量， α是正常 數(shù)，用以衡量擴(kuò)散強(qiáng)度的適應(yīng)性梯度。我們將看到，隨著生物向適應(yīng)性梯度移動(dòng)的趨勢(shì)變大，這樣的分布近似于對(duì)應(yīng)的擴(kuò)散模型的平衡。 兩物種模型 最終我們計(jì)劃研究，演化穩(wěn)定的 理想自由擴(kuò)散與其他擴(kuò)散策略的比較。 理解半平凡平衡 ? ?0,~u ，這里 u~ 滿足 ()()是必須的并且是本文的主題 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 8 本文中我們將集中考慮 g=0 的情況 ` ? ?? ? ? ?? ?? ???????????????????????????0,),(,nvnvuxfuuvuxvfvvvuxufvuxufuutt????? () 初始條件 u(x,0),v(x,0)都是非負(fù)且不恒為零的在 ? 上， ??? , 都是正常數(shù) 本文考慮模型的 （ ）的一維空間情形，我們將證明 相應(yīng)的一維模型存在唯一的整體古典解 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 9 2. 理論準(zhǔn)備 為了 敘述和證明的方便起見 ,本節(jié)對(duì)模型研究過程中所用到的 一些 基本定 理及 空間先 作 些 說明（參考文獻(xiàn) [1]， [2]） . 極值原理 設(shè) (,)uxt 在 區(qū)域 ? ?,0TR x t T??? ? ? ?上連續(xù)，并且在 區(qū)域 內(nèi)部滿足 熱傳導(dǎo)方程，則它在 區(qū)域 的兩個(gè)側(cè)邊 ( x ?? 及 x ?? ,0 tT?? )及底邊 ( 0,tx??? ? ? )上取到其最大值和最小 值 . 換言之，如果以 T? 表示 TR 的兩側(cè)邊及底邊所組成的邊界曲線（通稱為拋物邊界），那么成立著： m a x ( , ) m a x ( , )TTR u x t u x t?? ， m in ( , ) m in ( , )TTR u x t u x t?? . 注：上述對(duì)熱傳導(dǎo)方程的極值原理，可推廣到如下一般的拋物型方程： 2 ( , ) ( , ) 0tu a u b x t u c x t u? ? ? ? ? ?， 其中 0c? . 比較原理 對(duì)一般方程來說，設(shè) u 和 v 都是區(qū)域 ? 內(nèi)的函數(shù)，且在 ??上連續(xù) .如果在 ? 的邊界 ? 上成立著不等式 uv? ，那么在 ? 內(nèi)上述不等式也成立；并且只有在 uv? 時(shí)，在 ? 內(nèi)才會(huì)有等號(hào)成立的可能 . Holder空間 設(shè) ? 是 nR 的有界區(qū)域 ,對(duì)于非負(fù)整數(shù) k , ()kC ? 表示所有在 ? 上 k 次連續(xù)可微的函數(shù)組成的空間 ,在其上賦予范數(shù)： 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 10 ? ?。d e fk ku D u?? ???? ?? ???? ? ???? 的函數(shù)組成的線性空間 , 在其上定義范數(shù)： ? ?。 。 在本文中我們假設(shè) m∈ ??2C , ???? ，? ?1,0?? ，且 m在 Ω上可取正。 為此我們將原來的單物種模型發(fā)展到兩物種模型。 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 22 參考文獻(xiàn) [1] H. Amann, Dynamic theory of quasilinear parabolic equations, II: Reaction–diffusion systems, Differential Integral Equations 3 (1990) 13–75. [2] H. Amann, Dynamic theory of quasilinear parabolic systems, III: Global existence, Math. Z. 202 (1989) 219–250. [3] . Armsworth, . Roughgarden, The impact of directed versus random movement on population dynamics and biodiversity patterns, Am. Nat. 165 (20xx) 449–465. [4] . Armsworth, . Roughgarden, Disturbance induces the contrasting evolution of reinforcement and dispersiveness in directed and random movers, Evolution 59 (20xx) 2083–2096. [5] F. 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Further it is worth noting that dispersal processes that result in patterns embodying certain features of the ideal free distribution have been shown to be evolutionarily stable in discrete diffusion models。雖然按照各種擴(kuò)散機(jī)理可以對(duì)所研究的模型進(jìn)行分類，但是我們將來一個(gè)重要的目標(biāo)是把具適應(yīng)性的人口疏散模型的結(jié)果延伸到更多普遍的情況中去。 引理 假設(shè) (u,v)是 ()的在時(shí)間區(qū)間 ? ?T,0 上的一個(gè)古典解，則 ? ? mtv ??? ,0 ， ? ?Tt ,0?? () ? ? ? ?? ?? ? ? ?,0,m a x, 11 0 Ttumtu LL ???? ?? () 其中 ? ?xmm max:?? 證明：首先由假設(shè) ? ? ? ? 0,0 00 ?? xvxu 以及拋物方程 的最大值原理知： ? ? ? ?Tttxu ,0,0, ??? () ? ? ? ?Ttmtxv ,0,0 ???? () 再在 ()中的第一個(gè)方程兩邊關(guān)于 x在 (0,1)上積分得 ? ??? ??? 1010 dxvumuudxdtd ? ?? ?? 10 dxumu ?? ?? 10 210 dxuu d xm () 另一方面，由 Holder 不等式 得 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 15 ??? ???????? 10 210 2210 1 dxudxudx ?? 10 2dxu 將上式代入 ()得 2101010 ???????? ??? u d xu d xmu d xdtd () 令 ? ? ? ?dxtxuty ?? 10 , 則 ()可寫為 ? ? ? ? ? ?tytymty 2??? ? ? ? ? ? 111 ????????????? tymty 再令 ?? ??tytz 1? 推知 ? ? ? ? 1???? tzmtz ? ? ?? ? tmtm etze ??? ? ? ? ? ? ? ?110 ???? tmtm emztze ? ? ? ? ? mzemtze tmtm 101 ???? ? ? ? ? ? tmemzmtz ??????? ??? 101 ? ? ?? ? tmemymty??????? ??? 10111 ? ? ?? ?mu L ,max 10? 為敘述方便起見 ，一下我們不妨設(shè) 1??? ??? () 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 16 注意到 v 滿足如下方程 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????????????1,00,0,0,0,1,0,1201,0?Cxvxvtvtxvumvvvvxxxxt ? () 其中，由 ()和 ()有 ? ? ? ? ? ?11, ?????? Lvumvtxg () 從而，我們可以應(yīng)用 [20,lemmal]，得到一下引理 引理 假設(shè) (u,v)是 ()的在時(shí)間區(qū)間 ? ?T,0 上的一個(gè)古典解，則對(duì)任何 ????q1 ,存在某個(gè)常數(shù) C(q)，使得 ? ?? ? ? ? ? ?TtqCtv qLx ,0, ???? ? () 引理 假設(shè) (u,v)是 ()的在時(shí)間 區(qū)間 ? ?T,0 上 的一個(gè)古典解，則對(duì)任何???? p2 ，存在某個(gè)常數(shù) C(p)，使得 ? ?? ? ? ? ? ?TtPCtu pL ,0, ???? ? () 證明 :由 ()中的 u一方程得 ?? ?? 10 110 dxuupdxudtd tpp ? ?? ? ? ?? ?? ??????? ?10 1 vumuvumuuup xxxxp ? ?? ???? 10 221 dxuupp xp