【正文】 ...... 19 恰當選取“跨度” ............................................... 20 選取合適的假設方式 ............................................. 20 以“假設 nk163。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或 0nn? 且 Nn? ）結論都正確”。 淺談數(shù)學歸納法的應用 3 2 數(shù)學歸納法的概述 常用數(shù)學證明方法 數(shù)學是一門非常注重學習方法的學科 ,而數(shù)學的證明更是將這些方法體現(xiàn)的淋漓盡致，數(shù)學中研究問題的方法一般有以下分類： 演繹法 演繹法是從一般性原理得出特殊結論的推理方法，即從一般到特殊的推理方法。因而學會用不完全歸納法對問題進行探索，對提高數(shù)學能力十分重要。事實上，數(shù)學歸納法正是基于這樣一個簡單原理。 后來因為把 0 也作為自然數(shù)，所以公理中的 1要換成 0 。 也許從理論上來看，我們有可能還不是很懂得數(shù)學歸納法原理的正確性，我們可以從我們生活上的例子比較直觀的理解它。 第二句話也可以改為“如果當 n 適合于 kn??1 時命題正確，那么當 1??kn 時，命題也正確”，由此同樣可以證明對于所有命題都正確。 從而推出這個命題在 1?n 自然數(shù)中都是成立的。下面用例題來說明： 例 證明： 所有的正整數(shù)都相等。如果只有奠基步驟，而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。下面舉例說明． 例 用數(shù)學歸納法證明： *1 1 1 ()1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1n nNn n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 證明： (1)當 1n= 時，左邊 111 3 3??? ，右邊 112 1 1 3???? ∴左邊 =右邊 (2)假設 nk= 時，等式成立．即 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1kk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當 1nk=+時， 1 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 3 )12 1 ( 2 1 ) ( 2 3 )( 2 3 ) 1( 2 1 ) ( 2 3 )( 2 1 ) ( 1 )( 2 1 ) ( 2 3 )12( 1 ) 1k k k kkk k kkkkkkkkkkk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ??????????????? ∴當 1nk=+時，等式也成立。 即當 1nk=+時，結論成立。 4． 2 證明不等式 應用數(shù)學歸納法證明不等式，分為嚴格不等式和非嚴格不等式兩種．嚴格不等式的證明，只要保證原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．對于非嚴格不等式，情況略顯復雜，在證明過程的第一步驗證中，對于“ 179。 的基礎 [7] 。 有時候，我們要證明的不等式無法直接運用歸納法解決，這時，我們則考慮將不等式加強以便運用歸納法。在做這一部分題時，應從整除的基本含義入手，通過添項去項進行“配湊”，使之能夠獲證。數(shù)學家華羅庚曾在其《數(shù)學歸納法》一書中指出；“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來．”不少與正整數(shù)有關的幾何問題，也可以用數(shù)學歸納法證明，但是在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，然后才能用數(shù)學歸納法證明結論。但由定義可知， n 階行列式的展開式有 n ！項，計算量很大，一般情況下不用此法。 淺談數(shù)學歸納法的應用 17 5運用數(shù)學歸納法時容易出現(xiàn)的錯誤分析 剛剛接觸數(shù)學歸納法時容易出現(xiàn)對步驟把握不清的現(xiàn)象，下面針對幾種常見錯誤進行分析。 從上例可以看出，不去認真地檢驗這一步，或者根本沒有這一步，就可能陷入錯誤的泥潭。所謂“起點的前移”是指對命題 ()Pn，若驗證起點 ()Pr（如 (1)P ）比較困難或麻煩，而 ( 1)Pr （如 (0)P ）有意義時，不妨將起點的驗 證移至 ( 1)Pr ；所謂“起點后挪”是指對命題 ()Pn， (1)P ， (2)P ，?， ( 1)Pr 不能統(tǒng)一到“歸納”過程中去，這時可將起點后挪至 ()Pr ，當然 (1)P ， (2)P ，?， ( 1)Pr 需要用完全歸納法予以一一驗證。 例 試證：對一切自然數(shù) n ，都有 222n n+ 。 例 試證：任意大于 7的自然數(shù)均可表為若干個 3與若干個 5之和（若干個包括零個）。 對上述兩個例題，如果硬性規(guī)定跨度為 1，則作繭自縛，而通過加大跳躍跨度，則大大降低了歸納難度 [6]。 在上面的論證中，僅僅改變了假設的方式，而這種改變并未造成邏輯上的不合理，相反卻有利歸納過渡，因而是十分可取的。這種假設形式，在論證數(shù)列問題時較為常用 .但在使用時應注意對起點數(shù)作相應的增多。記得在剛剛確定論文課題的開始，導師就很耐心地幫助我，比個根據(jù)對我自身的特點給了我?guī)讉€比較合適的課題；還有在撰寫論文的過程中，老師也是隨時地提醒我要注意論文撰寫的進度以及一些相關要求。s 150th anniversary celebrations and will attend City39。re clear about the terms of the agreement. It might be best to get advice from an experienced adviser, for example, at a Citizens Advice Bureau. To find your nearest CAB, including those that give advice by , click on nearest CAB. For more information about making a claim to an employment tribunal, see Employment tribunals. The (lack of) air up there m Cay man Islandsbased Webb, the head of Watch Fifa39。 陜西科技大學畢業(yè)論文 24 致 謝 經(jīng)過了數(shù)月的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，此時，我 的心情常激動。事實上，我們有 3 2 1 1 1()n n n n n n na a a a a a a+ + + + += = = 于是有 63 ()n n n na a a a++= = = 從而知 {na }是以 6作為循環(huán)節(jié)的循環(huán)數(shù)列 .于是可以算出： 6 1 1 6 2 2 6 3 31 , 4 , 3 ,n n na a a a a a+ + += = = = = = 6 4 4 6 5 5 6 6 61 , 4 , 3 ,n n na a a a a a+ + += = = = = = 它們都不為 0，這樣我們就證明了對一切自然數(shù) n ， 12nnxx+ 都不是 5的倍數(shù)。（加拿大數(shù)學競賽試題） 分析：顯然 1a 滿足通項公式，但因 淺談數(shù)學歸納法的應用 21 1 1 221 ()( 1 ) 1kka a a ak+ = + + ++， 與 1a ， 2a ，?， ka 都有關，如果仍設 1( 1)ka kk= +，就顯得不夠用了。 假設當 nk= 時， 0 0 0,x x y y z z= = =，就有 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) kx z y z z x y z ++ = + =， 知它們恰為方程的一組正整數(shù)解 .所以當 2nk=+ 時，命題也成立。 這里運用了“起點后挪”的技巧 [7]。上例假設是 n 為正整數(shù)，而我們第一步驗證 0n= ，這時命題顯然成立，這比直接驗證 1n= 要容易的多。 上述的證明方法表象似乎是“數(shù)學歸納法”，其實不是，因為第二步由 nk= 推導 1nk=+時，沒有用到歸納假設來證明不等式成立，這就好像接力賽跑一樣沒有由前一個 k 將接力棒傳給 1k+ [7] 。上述錯證，竟把錯誤的結論“證明”出來了，豈非怪哉？此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，就是缺少歸納奠定這一步。計算行列式與矩陣的方法比較靈活，同一行列式與矩陣可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用。 行列式與矩陣的證明 行列式與矩陣的計算靈活多變，需要有較強的技巧。 證明幾何問題 應用數(shù)學歸納法證明幾何問題是數(shù)學歸納法的一個重要應用。 由 1）， 2）可知，對一切 ??Na ，都有 242513 1312111 ????????? nnnn ? 故 a 的最大值為 25 。 根據(jù)（ 1）和（ 2），可知命題對任何 *nN206。事實上，用數(shù)學歸納法證明非嚴格不等式時， AB= 是 AB179。 證明：首先， 1nAn= ． 這是顯然的．如果再能證明 11rrnnA nA= ， 那么，這個定理就可以應用數(shù)學歸納法來證明。 ②假設當 ( 1)n k k??時， coskA 和 sin sinA kA 都是有理數(shù)。應用數(shù)學歸納法可以證明與正整數(shù) n 有關的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題以及矩陣問題等。 這就足夠說明了 1?n 是遞推的基礎 ,二，三兩步相互循環(huán)論證關系是遞推的過程，它解決了從特殊值 0nn? 到一般 0nn? 的過渡。 以上問題都涉及到數(shù)學歸納法的原理，本質，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學證明方法的巧妙之處。 總之，數(shù)學歸納法原理還隱含著許多“變著”，這便使得數(shù)學歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實的數(shù)學歸納法，如蹺蹺板數(shù)學歸納法，雙重數(shù)學歸納法。 例 求證： n 邊形 n 個內角的和等于 ?)2( ?n ，（ 3?n ）。 反過來，也可以用這個性質來推出數(shù)學歸納法。 ba? 一定能推得 ba? (5)任意一個自然數(shù)的集合，如果包含 1，并且假設包含 a ，也一定包含 a 的隨從 39。 數(shù)學歸納法基本原理及其其它形式 數(shù)學歸納法概念 數(shù)學歸納法概念 : 數(shù)學歸納法是 數(shù)學上證明與 正整數(shù) N 有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與 正整數(shù) 有關的數(shù)學問題 。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的一種重要手段。 但真正比較明確使用數(shù)學歸納法的是意大利數(shù)學家、物理天文學家和工程師莫洛里科斯（ F. Maurolycus, 1494 1575），真正明確數(shù)學歸納法證明兩步的應該還是17 世紀 的數(shù)學家帕斯卡 ( B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早將數(shù)學歸納法的證明用形式的兩步明確下來。 引言 數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法，它是一個遞推的數(shù)學論證方法。要準確的運用數(shù)學歸納法，首先必須準確的理解其原理和意義以及 熟練地掌握解題步驟，而在三個步驟中運用歸納假設尤為關鍵 ,運用歸納假設推出猜想最為重要。 時成立”代替“假設 nk= 時成立” ............... 20 以“假設 nk= ， 1nk=+時成立”代替“假設 nk= 時成立” ...... 21 7 數(shù)學歸納法的地位和作用 ................................................ 23 致 謝 ................................................................... 24 參考文獻 ................................................................ 25 淺談數(shù)學歸納法的應用 1 1 緒論 在高中數(shù)學教科書中，我們已經(jīng)學習過數(shù)學歸納法，在高中階段，學生主要是通過了解數(shù)學歸納法的證明三步驟來模仿證明其他表達式的成立，學生也往往滿足于“ k 時命題成立，那么 1?k 時命題也成立”的證明方法。由這兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。演繹法的特點是它從真實的前提一定 能推出真實的結論。不完全歸納法又可分為枚舉歸納法和因果歸納法兩類。 數(shù)學歸納法來源于皮亞諾自然公理，自然數(shù)有以下性質： (1)1是自然數(shù) (2)每一個確定的自然數(shù) a ,都有一個確定的隨從 39。 其中的性質 (5)是數(shù)學歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學歸納法： 設是與正整數(shù)有關的數(shù)學命題，如果： (1)命題當 kn? 時正確，即 1??kn 正