【正文】 ...... 19 恰當(dāng)選取“跨度” ............................................... 20 選取合適的假設(shè)方式 ............................................. 20 以“假設(shè) nk163。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或 0nn? 且 Nn? ）結(jié)論都正確”。 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 3 2 數(shù)學(xué)歸納法的概述 常用數(shù)學(xué)證明方法 數(shù)學(xué)是一門(mén)非常注重學(xué)習(xí)方法的學(xué)科 ,而數(shù)學(xué)的證明更是將這些方法體現(xiàn)的淋漓盡致，數(shù)學(xué)中研究問(wèn)題的方法一般有以下分類： 演繹法 演繹法是從一般性原理得出特殊結(jié)論的推理方法，即從一般到特殊的推理方法。因而學(xué)會(huì)用不完全歸納法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索，對(duì)提高數(shù)學(xué)能力十分重要。事實(shí)上，數(shù)學(xué)歸納法正是基于這樣一個(gè)簡(jiǎn)單原理。 后來(lái)因?yàn)榘?0 也作為自然數(shù)，所以公理中的 1要換成 0 。 也許從理論上來(lái)看，我們有可能還不是很懂得數(shù)學(xué)歸納法原理的正確性，我們可以從我們生活上的例子比較直觀的理解它。 第二句話也可以改為“如果當(dāng) n 適合于 kn??1 時(shí)命題正確，那么當(dāng) 1??kn 時(shí)，命題也正確”，由此同樣可以證明對(duì)于所有命題都正確。 從而推出這個(gè)命題在 1?n 自然數(shù)中都是成立的。下面用例題來(lái)說(shuō)明： 例 證明： 所有的正整數(shù)都相等。如果只有奠基步驟，而無(wú)歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。下面舉例說(shuō)明． 例 用數(shù)學(xué)歸納法證明： *1 1 1 ()1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1n nNn n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 證明： (1)當(dāng) 1n= 時(shí)，左邊 111 3 3??? ，右邊 112 1 1 3???? ∴左邊 =右邊 (2)假設(shè) nk= 時(shí)，等式成立．即 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1kk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) 1nk=+時(shí)， 1 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 3 )12 1 ( 2 1 ) ( 2 3 )( 2 3 ) 1( 2 1 ) ( 2 3 )( 2 1 ) ( 1 )( 2 1 ) ( 2 3 )12( 1 ) 1k k k kkk k kkkkkkkkkkk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ??????????????? ∴當(dāng) 1nk=+時(shí)，等式也成立。 即當(dāng) 1nk=+時(shí)，結(jié)論成立。 4． 2 證明不等式 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種．嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．對(duì)于非嚴(yán)格不等式，情況略顯復(fù)雜，在證明過(guò)程的第一步驗(yàn)證中，對(duì)于“ 179。 的基礎(chǔ) [7] 。 有時(shí)候，我們要證明的不等式無(wú)法直接運(yùn)用歸納法解決，這時(shí)，我們則考慮將不等式加強(qiáng)以便運(yùn)用歸納法。在做這一部分題時(shí)，應(yīng)從整除的基本含義入手，通過(guò)添項(xiàng)去項(xiàng)進(jìn)行“配湊”，使之能夠獲證。數(shù)學(xué)家華羅庚曾在其《數(shù)學(xué)歸納法》一書(shū)中指出；“難處不在于有了公式去證明，而在于沒(méi)有公式之前，怎樣去找出公式來(lái)．”不少與正整數(shù)有關(guān)的幾何問(wèn)題，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，然后才能用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。但由定義可知， n 階行列式的展開(kāi)式有 n ！項(xiàng)，計(jì)算量很大，一般情況下不用此法。 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 17 5運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤分析 剛剛接觸數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)對(duì)步驟把握不清的現(xiàn)象，下面針對(duì)幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行分析。 從上例可以看出，不去認(rèn)真地檢驗(yàn)這一步，或者根本沒(méi)有這一步，就可能陷入錯(cuò)誤的泥潭。所謂“起點(diǎn)的前移”是指對(duì)命題 ()Pn，若驗(yàn)證起點(diǎn) ()Pr（如 (1)P ）比較困難或麻煩，而 ( 1)Pr （如 (0)P ）有意義時(shí)，不妨將起點(diǎn)的驗(yàn) 證移至 ( 1)Pr ；所謂“起點(diǎn)后挪”是指對(duì)命題 ()Pn， (1)P ， (2)P ，?， ( 1)Pr 不能統(tǒng)一到“歸納”過(guò)程中去，這時(shí)可將起點(diǎn)后挪至 ()Pr ，當(dāng)然 (1)P ， (2)P ，?， ( 1)Pr 需要用完全歸納法予以一一驗(yàn)證。 例 試證：對(duì)一切自然數(shù) n ，都有 222n n+ 。 例 試證：任意大于 7的自然數(shù)均可表為若干個(gè) 3與若干個(gè) 5之和（若干個(gè)包括零個(gè)）。 對(duì)上述兩個(gè)例題，如果硬性規(guī)定跨度為 1，則作繭自縛，而通過(guò)加大跳躍跨度，則大大降低了歸納難度 [6]。 在上面的論證中，僅僅改變了假設(shè)的方式，而這種改變并未造成邏輯上的不合理，相反卻有利歸納過(guò)渡，因而是十分可取的。這種假設(shè)形式，在論證數(shù)列問(wèn)題時(shí)較為常用 .但在使用時(shí)應(yīng)注意對(duì)起點(diǎn)數(shù)作相應(yīng)的增多。記得在剛剛確定論文課題的開(kāi)始，導(dǎo)師就很耐心地幫助我，比個(gè)根據(jù)對(duì)我自身的特點(diǎn)給了我?guī)讉€(gè)比較合適的課題；還有在撰寫(xiě)論文的過(guò)程中，老師也是隨時(shí)地提醒我要注意論文撰寫(xiě)的進(jìn)度以及一些相關(guān)要求。s 150th anniversary celebrations and will attend City39。re clear about the terms of the agreement. It might be best to get advice from an experienced adviser, for example, at a Citizens Advice Bureau. To find your nearest CAB, including those that give advice by , click on nearest CAB. For more information about making a claim to an employment tribunal, see Employment tribunals. The (lack of) air up there m Cay man Islandsbased Webb, the head of Watch Fifa39。 陜西科技大學(xué)畢業(yè)論文 24 致 謝 經(jīng)過(guò)了數(shù)月的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，此時(shí)，我 的心情常激動(dòng)。事實(shí)上，我們有 3 2 1 1 1()n n n n n n na a a a a a a+ + + + += = = 于是有 63 ()n n n na a a a++= = = 從而知 {na }是以 6作為循環(huán)節(jié)的循環(huán)數(shù)列 .于是可以算出： 6 1 1 6 2 2 6 3 31 , 4 , 3 ,n n na a a a a a+ + += = = = = = 6 4 4 6 5 5 6 6 61 , 4 , 3 ,n n na a a a a a+ + += = = = = = 它們都不為 0，這樣我們就證明了對(duì)一切自然數(shù) n ， 12nnxx+ 都不是 5的倍數(shù)。（加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 分析：顯然 1a 滿足通項(xiàng)公式，但因 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 21 1 1 221 ()( 1 ) 1kka a a ak+ = + + ++， 與 1a ， 2a ，?， ka 都有關(guān)，如果仍設(shè) 1( 1)ka kk= +，就顯得不夠用了。 假設(shè)當(dāng) nk= 時(shí)， 0 0 0,x x y y z z= = =，就有 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) kx z y z z x y z ++ = + =， 知它們恰為方程的一組正整數(shù)解 .所以當(dāng) 2nk=+ 時(shí)，命題也成立。 這里運(yùn)用了“起點(diǎn)后挪”的技巧 [7]。上例假設(shè)是 n 為正整數(shù)，而我們第一步驗(yàn)證 0n= ，這時(shí)命題顯然成立，這比直接驗(yàn)證 1n= 要容易的多。 上述的證明方法表象似乎是“數(shù)學(xué)歸納法”，其實(shí)不是，因?yàn)榈诙接?nk= 推導(dǎo) 1nk=+時(shí)，沒(méi)有用到歸納假設(shè)來(lái)證明不等式成立，這就好像接力賽跑一樣沒(méi)有由前一個(gè) k 將接力棒傳給 1k+ [7] 。上述錯(cuò)證，竟把錯(cuò)誤的結(jié)論“證明”出來(lái)了，豈非怪哉？此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，就是缺少歸納奠定這一步。計(jì)算行列式與矩陣的方法比較靈活，同一行列式與矩陣可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用。 行列式與矩陣的證明 行列式與矩陣的計(jì)算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。 證明幾何問(wèn)題 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)重要應(yīng)用。 由 1）， 2）可知，對(duì)一切 ??Na ，都有 242513 1312111 ????????? nnnn ? 故 a 的最大值為 25 。 根據(jù)（ 1）和（ 2），可知命題對(duì)任何 *nN206。事實(shí)上，用數(shù)學(xué)歸納法證明非嚴(yán)格不等式時(shí)， AB= 是 AB179。 證明：首先， 1nAn= ． 這是顯然的．如果再能證明 11rrnnA nA= ， 那么，這個(gè)定理就可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。 ②假設(shè)當(dāng) ( 1)n k k??時(shí)， coskA 和 sin sinA kA 都是有理數(shù)。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù) n 有關(guān)的恒等式、不等式、證明整除問(wèn)題、證明幾何問(wèn)題以及矩陣問(wèn)題等。 這就足夠說(shuō)明了 1?n 是遞推的基礎(chǔ) ,二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過(guò)程，它解決了從特殊值 0nn? 到一般 0nn? 的過(guò)渡。 以上問(wèn)題都涉及到數(shù)學(xué)歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法的巧妙之處。 總之，數(shù)學(xué)歸納法原理還隱含著許多“變著”，這便使得數(shù)學(xué)歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實(shí)的數(shù)學(xué)歸納法，如蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法，雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法。 例 求證： n 邊形 n 個(gè)內(nèi)角的和等于 ?)2( ?n ，（ 3?n ）。 反過(guò)來(lái)，也可以用這個(gè)性質(zhì)來(lái)推出數(shù)學(xué)歸納法。 ba? 一定能推得 ba? (5)任意一個(gè)自然數(shù)的集合，如果包含 1，并且假設(shè)包含 a ，也一定包含 a 的隨從 39。 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 數(shù)學(xué)歸納法概念 數(shù)學(xué)歸納法概念 : 數(shù)學(xué)歸納法是 數(shù)學(xué)上證明與 正整數(shù) N 有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與 正整數(shù) 有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題 。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。 但真正比較明確使用數(shù)學(xué)歸納法的是意大利數(shù)學(xué)家、物理天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯（ F. Maurolycus, 1494 1575），真正明確數(shù)學(xué)歸納法證明兩步的應(yīng)該還是17 世紀(jì) 的數(shù)學(xué)家帕斯卡 ( B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早將數(shù)學(xué)歸納法的證明用形式的兩步明確下來(lái)。 引言 數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法。要準(zhǔn)確的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，首先必須準(zhǔn)確的理解其原理和意義以及 熟練地掌握解題步驟，而在三個(gè)步驟中運(yùn)用歸納假設(shè)尤為關(guān)鍵 ,運(yùn)用歸納假設(shè)推出猜想最為重要。 時(shí)成立”代替“假設(shè) nk= 時(shí)成立” ............... 20 以“假設(shè) nk= ， 1nk=+時(shí)成立”代替“假設(shè) nk= 時(shí)成立” ...... 21 7 數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用 ................................................ 23 致 謝 ................................................................... 24 參考文獻(xiàn) ................................................................ 25 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 1 1 緒論 在高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)歸納法，在高中階段，學(xué)生主要是通過(guò)了解數(shù)學(xué)歸納法的證明三步驟來(lái)模仿證明其他表達(dá)式的成立，學(xué)生也往往滿足于“ k 時(shí)命題成立，那么 1?k 時(shí)命題也成立”的證明方法。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。演繹法的特點(diǎn)是它從真實(shí)的前提一定 能推出真實(shí)的結(jié)論。不完全歸納法又可分為枚舉歸納法和因果歸納法兩類。 數(shù)學(xué)歸納法來(lái)源于皮亞諾自然公理，自然數(shù)有以下性質(zhì)： (1)1是自然數(shù) (2)每一個(gè)確定的自然數(shù) a ,都有一個(gè)確定的隨從 39。 其中的性質(zhì) (5)是數(shù)學(xué)歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學(xué)歸納法： 設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果： (1)命題當(dāng) kn? 時(shí)正確，即 1??kn 正