【正文】 ??????????????????????????????????????????00100100)1(02)2)(1()1(001001121321nnnnnnnnnnn 陜西科技大學(xué)畢業(yè)論文 16 ?????????????? ?? ???nnnnnnnnnn??????0002)1(121 由（ 1）、（ 2）可知，對所有的 Nn? ，命題成立。 例 證明范得蒙 )( eVandermond 行列式： ???????????nijjinnnnnnnn xxxxxxxxxxxxxxV111312112232221321)(.. .::::.. ... .1.. .111其中 )()())(())(()( 1223113121 ???? ?????????????????? nnnnnij ji xxxxxxxxxxxxxx 證明 ：（ 1）當(dāng) 2?n 時， )(11211221 jiijn xxxxxxV ????? ? ???， 等式成立。但由定義可知， n 階行列式的展開式有 n ！項，計算量很大，一般情況下不用此法。 行列式與矩陣的證明 行列式與矩陣的計算靈活多變，需要有較強的技巧。 2）假設(shè)當(dāng) 時命題成立，即 k 個圓把平面分成 22 ??kk 個部分。求證：這 n 個圓把平面分成 22 ??nn 個部分。數(shù)學(xué)家華羅庚曾在其《數(shù)學(xué)歸納法》一書中指出；“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來．”不少與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，然后才能用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。 證明幾何問題 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是數(shù)學(xué)歸納法的一個重要應(yīng)用。 3）則當(dāng) 1??kn 時，有 121)1(2 336 ???? ?? kkk kkkkkkkk333336333336636 3333636 2222?????????? ?????? ?? )33(33)336(36 222 kkkkk ????? ?? 由于 122 336 ?? ?? kkk 能被 11整除， )33(33 2 kk ?? 能被 11整除 所以 1??kn 時命題成立。 證明： 1) 1?n 時， 66336336 3222 ?????? ? nnn 能被 11整除。在做這一部分題時，應(yīng)從整除的基本含義入手，通過添項去項進行“配湊”，使之能夠獲證。 由 1）， 2）可知，對一切 ??Na ，都有 242513 1312111 ????????? nnnn ? 故 a 的最大值為 25 。 2）假設(shè) kn? 時，不等式成立。 例 若不等式 2413 1312111 annnn ????????? ?對一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù) a的最大值，并證明你的結(jié)論。 有時候，我們要證明的不等式無法直接運用歸納法解決，這時，我們則考慮將不等式加強以便運用歸納法。 根據(jù)（ 1）和（ 2），可知命題對任何 *nN206。 都成立 [8] 。 （ 2）假設(shè)當(dāng) ()n k k N??時命題成立，即 212121 1 1( ) ( )kka a a ka a a? ? ? ? ? ? ? 那么當(dāng) 1nk=+ 1 2 11 2 11 2 1 2 11 2 1 1 21 1 1 1( ) ( )1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1kkkkk k kk k ka a a aa a a aa a a a a a aa a a a a a a????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 2 11 1 2221 1 1 12 ( ) ( ) 121kkkkk a a a aa a a akk??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2221( 1)kkk= + +=+ 即當(dāng) 1nk=+時，命題成立。 的基礎(chǔ) [7] 。事實上，用數(shù)學(xué)歸納法證明非嚴(yán)格不等式時， AB= 是 AB179。另一種觀點認(rèn)為：在第一步中，只要證明 AB=或 ()A B A B有一個成立，即可說明非嚴(yán)格不等式 ()A B A B常 成立。 ”的處理，存在兩種不同的看法，一種觀點認(rèn)為：在第一步中，既要驗證“ AB= ”成立，也要說明 ()A B A B成立。 4． 2 證明不等式 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種．嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．對于非嚴(yán)格不等式，情況略顯復(fù)雜，在證明過程的第一步驗證中，對于“ 179。 證明：首先， 1nAn= ． 這是顯然的．如果再能證明 11rrnnA nA= ， 那么，這個定理就可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明。從 n 個不同的元素里每次取 r 個元素所有不同的排列數(shù)，可以用符號 rnA 來表示。 數(shù)學(xué)歸納法最簡單的應(yīng)用之一，是用來研究排列和組合的公式，通過高中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道：“從 n 個不同的元素里，每次取 r 個，按照一定的順序擺成一排，稱做從 n 個元素里每次取出 r 個元素的排列。 即當(dāng) 1nk=+時，結(jié)論成立。 ②假設(shè)當(dāng) ( 1)n k k??時， coskA 和 sin sinA kA 都是有理數(shù)。 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明 cosnA 和 sin sinA nA 都是有理數(shù)。 例 （ 2022江蘇卷（理科））已知△ ABC的三邊長都是有理數(shù)。下面舉例說明． 例 用數(shù)學(xué)歸納法證明： *1 1 1 ()1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1n nNn n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 證明： (1)當(dāng) 1n= 時，左邊 111 3 3??? ，右邊 112 1 1 3???? ∴左邊 =右邊 (2)假設(shè) nk= 時，等式成立．即 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1kk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) 1nk=+時， 1 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 3 )12 1 ( 2 1 ) ( 2 3 )( 2 3 ) 1( 2 1 ) ( 2 3 )( 2 1 ) ( 1 )( 2 1 ) ( 2 3 )12( 1 ) 1k k k kkk k kkkkkkkkkkk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ??????????????? ∴當(dāng) 1nk=+時，等式也成立。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù) n 有關(guān)的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題以及矩陣問題等。 )2( 不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，這類命題解題時，一般通過下面的兩種途徑為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件 ,先將 1??kn 代入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而得到結(jié)論；利用其它數(shù)學(xué)知識，建立 )(kp 與 )1(?kp 的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立，對于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的概率也是很大的。 所以，用數(shù)學(xué)歸納法證題時，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應(yīng)用假設(shè)。如果只有奠基步驟，而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。 這就足夠說明了 1?n 是遞推的基礎(chǔ) ,二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過程，它解決了從特殊值 0nn? 到一般 0nn? 的過渡。 陜西科技大學(xué)畢業(yè)論文 8 分析：當(dāng) 11000,3,2,1 ??n 的時候，式子 724912 ??nn 的值都是素數(shù) ,即使 如此，我們還不能確立是任何正整數(shù)的時候，這個式子的值都是素數(shù)，事實上，只要 72490?n 的時候它的值就不是素數(shù)。 這里，第 k 號命題是：“第 1?k 個正整數(shù)等于第 k 個正整數(shù)”，就是 kk ??1 兩邊都加上 1，就得 1??kk 這就是說，第 k 個正整數(shù)等于第 1?k 個正整數(shù)，這不是說明了所有的正整數(shù)都相等了嗎？ 錯誤就在于，我們沒有考慮 1?k 的情況。下面用例題來說明： 例 證明： 所有的正整數(shù)都相等。 以上問題都涉及到數(shù)學(xué)歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法的巧妙之處。 三個步驟缺一不可 在實際的教學(xué)過程中，重點在于如何利用假設(shè) kn? 時命題的結(jié)論來推出 1??kn 時命題也成立，因為之前的兩部相當(dāng)于第三步而言比較簡單，因此，學(xué)生做題時往往會在第三步感到困難，然 而，即使學(xué)生經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練，能夠一步不漏正確的做下來，學(xué)生多半仍處于知其然不知所以然的處境，有不少學(xué)生心中疑問：為什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不是是代個最簡單的數(shù)字進去看看命題對不對，這一步會有多少作用，為什么非要不可。 證明： (1)當(dāng) 1?n 時， 1?左 ， 1?右 ，所以等式成立。 從而推出這個命題在 1?n 自然數(shù)中都是成立的。 總之，數(shù)學(xué)歸納法原理還隱含著許多“變著”，這便使得數(shù)學(xué)歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實的數(shù)學(xué)歸納法，如蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法，雙重數(shù)學(xué)歸納法。 陜西科技大學(xué)畢業(yè)論文 6 假設(shè)當(dāng) kn? 時，命題成立，即 iai ? ， ki ?,2,1? 當(dāng) 1??kn 時，因為 312131311 )( ????? ??? ??? kki ikk iki i aaaa )22( ? 又 21 1211311 )()( ??? ? ????? ??? ki kiki iki i aaaa 21 1121 2)( ?? ? ??? ??? ki kikki i aaaa )32( ? 于是 21 1131 2 ? ? ??? ?? ki kikk aaaa )42( ? 因為 kiia i ?,2,1, ?? 所以 ?? ??ki i kka1 2 )1( 又因為 01 ??ka ,故 0)1(121 ???? ?? kkaa kk )52( ? 解得 11 ??? kak 或 )(1 舍去kak ??? 所以 1??kn 時命題也成立，從而對任意自然數(shù) n ，命題成立。 例 我們知道，對于任意自然數(shù) n ，有 211 3 )(?? ?? nni ii,反之，若 0?na ，且2131 )(?? ?? n ini i aa ,有 nan? 成立嗎？ 證明：當(dāng) 1?n 時，由 2131 aa ? 及 01?a ,得 11?a 。 第二句話也可以改為“如果當(dāng) n 適合于 kn??1 時命題正確，那么當(dāng) 1??kn 時，命題也正確”，由此同樣可以證明對于所有命題都正確。 例 求證： n 邊形 n 個內(nèi)角的和等于 ?)2( ?n ，（ 3?n ）。 (1)不一定從 1開始，也就是數(shù)學(xué)歸納法里的兩句話，可以改成：如果當(dāng) 0kn? 的時候，這個命題是正確的，又從假設(shè)當(dāng) )( 0kkkn ?? 時，這個命題是正確的，可以推出當(dāng) 1??kn時，這個命題也是正確的，那么這個命題 0kn? 時都正確。 上面的道理采用形式上的講法，也就是：有一批編了號碼的數(shù)學(xué)命題，能夠證明第 1號命題正確，如果能夠證明在第 k 號命題正確的時候，第 1?k 號命題也正確，那么，這一批命題就全部正確。 也許從理論上來看，我們有可能還不是很懂得數(shù)學(xué)歸納法原理的正確性，我們可以從我們生活上的例子比較直觀的理解它。 反過來，也可以用這個性質(zhì)來推出數(shù)學(xué)歸納法。 證明：在這集合里任意取一個數(shù) n ,大于 n 的不必討論了，我們需要討論的是那些不大于 n的自然數(shù)里一定有一個最小的數(shù)。 數(shù)學(xué)歸納法的正確性驗證是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理，能否完成對與自然數(shù)有關(guān)命題的無限次論證，即數(shù)學(xué)歸納法是否可靠，下面我將結(jié)合“正