高二數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例-文庫吧資料
2024-11-20 16:44本頁面
【正文】 ＋ 1 時， ak ＋ 1＝ 3ak－ 2ak － 1 ＝ 3 2k － 1＋ 3 － 2 2k － 1＋ 1 ＝ 2k＋ 1 ＝ 2(k ＋ 1) － 1＋ 1. 這說明當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時，結(jié)論成立． 由 ①② 知，對 n ∈ N*， an＝ 2n － 1＋ 1 成立． 已知數(shù)列的遞推公式求通項公式是高考的熱點，其解法有 ① 通過有效變形轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解； ② 變形利用累加或累乘求通項公式； ③ 根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項，歸納、猜想、證明． C B D C B 【例 1 】 某個命題與正整數(shù) n 有關(guān)， 如果當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N*) 時該命題成立，那么可推得當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng) n ＝ 5 時該命題不成立，那么可推得 ( ) ( A ) 當(dāng) n ＝ 6 時該命題不成立 ( B) 當(dāng) n ＝ 6 時該命題成立 ( C ) 當(dāng) n ＝ 4 時該命題不成立 ( D ) 當(dāng) n ＝ 4 時該命題成立 4 解析： 如果當(dāng) n ＝ 4 時命題成立，那么由題設(shè)知當(dāng) n ＝ 5 時命題也成立 ． 上面的判斷作為一個命題，它的逆否命題是：如果當(dāng) n ＝ 5 時命題不成立，那么當(dāng) n ＝ 4 時命題也不成立 ． 原命題成立，它的逆否命題一定成立 ． 故選 C. 221 nnx y x y??例 、 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 ：能 被 整 除 。 證明： 1） n=2時：兩條直線交點個數(shù)為 1, 而 f(2)= 2 (21)=1, ∴ 命題成立 。 2121 21 122）假設(shè) n=k(k∈N ?,k≥2 )時， k條直線交點個數(shù)為 f(k)= k(k1), 21(4)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題： 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用： （ 1）恒等式 例 1例 2例 3 （ 2）不等式 （ 3）三角方面 （ 4）整除性 例 4 （ 5）幾何方面 例 5 （ 6）計算、猜想、證明 (2)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題： 例 用數(shù)學(xué)歸納法證明 : ).,2(24132 12111 *Nnnnnn ?????????證 :(1)當(dāng) n=2時 , 左邊 = 不等式 成立 . ,24132414413122 112 1 ???????(2)假設(shè)當(dāng) n=k(k≥2)時不等式成立 ,即有 : ,2413212111 ??????? kkk1 1 1 1 11( 1 ) 1 ( 1 ) 2 2 2 1 2 2nkk k k k k? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?那 么 當(dāng) 時 ，1 1 1 1 1 1()1 2 2 2 1 2 2 1k k k k k k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
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