高二數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例(更新版)
【正文】 n,且 猜想數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明 : .12nnn aaS ??證 :(1)當(dāng) n=1時(shí) , 結(jié)論成立 . 1=1a ?左 邊 ，(2)假設(shè)當(dāng) n=k時(shí) ,結(jié)論成立 ,即 .1??? kka k則當(dāng) n=k+1時(shí) , .)111(21)1(21 kkkkkaaSkkk ?????????21 1 1 1 1111( ) 2 1 02k k k k k kka S S a k a k aa? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?練 習(xí) ： 已知數(shù)列 {a n } 滿足 a 1 ＝12 ，且前 n 項(xiàng)和 S n 滿足： S n ＝ n2 an ，求 {a n } 的通項(xiàng)公式，并給出證明． = 1 1 1 1?右 邊 ，111 ( 0 ) .kka k k a??? ? ? ? ?例 是否存在常數(shù) a、 b,使得等式 : 對(duì)一切正整數(shù) n都成立 ,并證明你的結(jié)論 . 2)12)(12(532311 2222??????????? bnnannnn解 :令 n=1,2,并整理得 .41{,231013{?????????bababa以下用數(shù)學(xué)歸納法證明 : ).(24)12)(12(53 231 1 *2222 Nnn nnnn n ????????????(1)當(dāng) n=1時(shí) ,由上面解法知結(jié)論正確 . (2)假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)結(jié)論正確 ,即 : .24)12)(12(53 231 1 2222 ??????????? k kkkk k則當(dāng) n=k+1時(shí) , 2 2 2 21 2 ( 1 )1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 3 )kkk k k k?? ? ?? ?? ? ? ? ? ?故當(dāng) n=k+1時(shí) ,結(jié)論也正確 . 根據(jù) (1)、 (2)知 ,對(duì)一切正整數(shù) n,結(jié)論正確 . 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 2 3 ) 2 ( 1 )4 2 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 3 )k k k k k k kk k k k k? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?2( 1 ) ( 2 3 2 2 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 )2 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 3 )k k k k k k kk k k k? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?223 2 ( 1 ) ( 1 ).4 6 4 ( 1 ) 2k k k kkk? ? ? ? ??? ? ? ?例 6 *1 1 1112 2 3 21()2nnn n N? ? ? ? ? ?? ? ?練 習(xí) ： 證 明 ：
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