高二數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例-在線瀏覽
2025-01-15 16:44本頁面
【正文】 1 12 ( ) 2 .11k k k k? ? ? ? ???例 已知 求證 : . ,131211)(nnf ??????)1(2 2)2( ??? nnf n證 :(1)當 n=2時 , , 不等式成立 . 22212124131211)4()2( 2 ????????? ff(2)假設(shè)當 n=k(k≥2)時不等式成立 ,即 .22)2( ?? kf k則當 n=k+1時 , 有 : .22)1(212221222212211212221221121)2()2(1111???????????????????????????????kkkkffkkkkkkkkkk即當 n=k+1時 ,不等式成立 . 由 (1),(2)所證不等式對一切 都成立 . 2, ?? nNn例 4設(shè)數(shù)列 {an}滿足 an+1=an2?nan+1,n=1,2,3,… (1)當 a1=2時，求 a2,a3,a4，由此猜想出 an的一個通項公式 ,并證明 (2)當 a1?3時，證明對所有的 n?1，有 an?n+2 解： (1)由 a1=2得 a2=a12?a1+1=3 同理可得： a2= a3= a4=5 由此猜想 an的一個通項公式： an=n+1 (n?1) 證明：①當 n=1時， a1=2=1+1 ∴ n=1時，猜測正確 ②假設(shè) n=k時，猜測正確，即 ak=k+1 ∵ an+1=an2?nan+1 ∴ ak+1=ak2?kak+1=(k+1)2?k(k+1)+1=(k+1)+1 即 n=k+1時，猜測正確 由①②知對 n?N*都有 an=n+1 例 4設(shè)數(shù)列 {an}滿足 an+1=an2?nan+1,n=1,2,3,… (1)當 a1=2時求 a2,a3,a4，猜想出 an的一個通項公式 ,并證明 (2)當 a1?3時，證明對所有的 n?1，有 an?n+2 (2)① 當 n=1,a1?3=1+2，不等式成立． ②假設(shè)當 n=k時不等式成立，即 ak?k+2， 那么， ak+1=ak(ak?k)+1 ?(k+2)(k+2?k)+1 =2k+4+1?(k+1)+2 也就是說，當 n=k+1時，原不等式成立 根據(jù) ① 和 ② ，對于所有 n?1，有 an?n+2 例 已知正數(shù)數(shù)列 {an}中 ,前 n項和為 s
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