高二數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例(已修改)
2024-11-28 16:44 本頁面
【正文】 第一節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例（三） 第二章 極限 1 2 C 2 ． 在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證 ( ) ( A ) n ＝ 1 時(shí)成立 ( B)n ＝ 2 時(shí)成立 ( C ) n ＝ 3 時(shí)成立 ( D ) n ＝ 4 時(shí)成立 C 1 3 3 ． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1 ＋ 12 ＋ 13 ＋ … ＋ 12n－ 1 ＜ n ( n ∈ N*，且 n ＞ 1) ，第一步要證的不等式是 _ ___ _ ___ ___ _ ． 答案： 1 ＋ 12 ＋ 13 ＜ 2 5 例題 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題 【例 3 】 在數(shù)列 {a n } 中，已知 a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 3 ， a n ＝ 3a n － 1 － 2a n － 2 (n ≥ 3) ． ( 1) 求 a 3 ， a 4 ， a 5 ； ( 2) 猜想 {a n } 的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論． 思路點(diǎn)撥： 由數(shù)列的前兩項(xiàng)和遞推公式分別求 a 3 ， a 4 ， a 5 → 歸納猜想 a n → 用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想． 解： ( 1) ∵ a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 3 ， a n ＝ 3a n － 1 － 2a n － 2 (n ≥ 3) ， ∴ a 3 ＝ 3 3 － 2 2 ＝ 5 ， a 4 ＝ 3 5 － 2 3 ＝ 9 ， a 5 ＝ 3 9 － 2 5 ＝ 17. ( 2) ∵ a1＝ 2 ＝ 20＋ 1 ， a2＝ 3 ＝ 21＋ 1 ， a3＝ 5 ＝ 22＋ 1 ， a4＝ 9 ＝ 23＋ 1 ， a5＝ 17 ＝ 24＋ 1 ， ∴ 猜想 an＝ 2n － 1＋ 1. 證明： ① 當(dāng) n ＝ 1 ， n ＝ 2 時(shí)，結(jié)論顯然成立． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k － 1 ， n ＝ k ( k ≥ 2) 時(shí)，結(jié)論成立，即 ak － 1＝ 2k － 2＋ 1 ， ak＝ 2k － 1＋ 1 ， 則當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， ak ＋ 1＝ 3ak－ 2ak － 1 ＝ 3 2k － 1＋ 3 － 2 2k － 2－ 2 ＝ 2 2k － 1＋ 1 ＝ 2k＋ 1 ＝ 2(k ＋ 1) － 1＋ 1. 這說明當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，結(jié)論成立． 由 ①② 知，對(duì) n ∈ N*， an＝ 2n － 1＋ 1 成立． 已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式是高考的熱點(diǎn)，其解法有 ① 通過有效變形轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解； ② 變形利用累加或累乘求通項(xiàng)公式； ③ 根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納、猜想、證明．
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1