高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破-難點(diǎn)31--數(shù)學(xué)歸納法解題(已修改)
2025-06-20 00:20 本頁面
【正文】 難點(diǎn)31 數(shù)學(xué)歸納法解題，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.●難點(diǎn)磁場(★★★★)是否存在a、b、c使得等式122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c).●案例探究［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞akc+cka.證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②設(shè)n=k時成立，即則當(dāng)n=k+1時， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)＞()k()=()k+1［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識.知識依托：、猜想、證明.錯解分析
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