23數(shù)學(xué)歸納法1-在線瀏覽
2024-11-04 15:13本頁面
【正文】 k?111ka k? ? ?如果 n=k時猜想成立 ,即 ,那么當(dāng) n=k+1時猜 想也成立 ,即 事實上 , 1111111kkka kaakk? ? ? ????即 n=k+1時猜想也成立 . 對于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)自然數(shù)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來證明它們的正確性： （ 1）證明當(dāng) n取第一個值 n0(例如 n0=1) 時命題成立 。 證明 : (1)當(dāng) n=1時 ,左邊 =a1,右邊 =a1 +（ 11） d=a1, ∴ 當(dāng) n=1時 ， 結(jié)論成立 (2)假設(shè)當(dāng) n=k時結(jié)論成立， 即 ak=a1+(k1)d 則當(dāng) n=k+1時 ak+1 = ak+d = a1+(k1)d+d = a1+[(k+1)1]d ∴ 當(dāng) n=k+1時，結(jié)論也成立。 湊假設(shè) 結(jié)論 從 n=k到n=k+1有什么變化 nn 1n1已知數(shù)列{a }為 等為q, 求證: 通項：公式為a = a qn n 1練習(xí) 比數(shù)列，公比（提示：a = q a ）注意 1. 用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時 ,要分兩個步驟 ,兩個步驟缺一不可 . 2 (1)(歸納奠基 )是遞推的基礎(chǔ) . 找準(zhǔn) n0 (2)(歸納遞推 )是遞推的依據(jù) n＝ k時命題成立．作為必用的條件運用，而 n＝ k+1時情況則有待利用假設(shè)及已知的定義、公式、定理等加以證明 例 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明 21 3 5 ( 2 1 ) .nn? ? ? ? ?【 分析 】 (1) 第一步應(yīng)做什么 ?本題的 n0應(yīng)取多少 ? n0=1, 211?（ 2）在證傳遞性時，假設(shè)什么？求證什么 ? 假設(shè) 1+3+5+…..+ （ 2k1） =k 2 求證 1+3+5十 …. 十 (2k1)十 (2k+1)=(k+1) 2 （ 3）怎樣將假設(shè) 1+3+5+…..+ （ 2k1） =k 2 推理變形為 1+3+5十 …. 十 (2k1)十 (2k+1)=(k+1) 2 ? 證明：①當(dāng) n=1時，左邊 =1，右邊 =1，等式成立。 由①和②可知，對 n∈N ，原等式都成立。 (2)假設(shè)當(dāng) n=k時等式成立，就是
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