20xx數(shù)學(xué)歸納法講義-在線瀏覽
2025-01-23 23:54本頁面
【正文】 1s i n1 2121 kk akakk k ???? ?????????? ??數(shù)學(xué)歸納法的其他形式： 那么根據(jù)（ 1）、（ 2）、（ 3）就可以斷定命題 P(n）、 Q（ n）對一切正整數(shù) n （ ≥n0 ）都成立． (1) P(n0) (n0 ∈ N*)成立 ； 3. （螺旋式歸納法） ：設(shè) P(n)和 Q（ n）是兩個與自然數(shù)有 n關(guān)的命題，如果 : (2) 假設(shè) P(k) (k∈ N*, k≥n0)成立 ,能推出 Q(k)也成立； (3) 假設(shè) Q(k)(k∈ N*, k≥n0)成立 , 能推出 P（ k+1)也成立； )(,1)1(3,3 1222 Nnnnana nn ????? ?}{ na例 中，已知 )134(21),134(21 22212 ??????? nnnSnnnS nn求證： ? ?)134(21),134(21),(,1)1(3,31222121222?????????????nnnSnnnSNnnnanaannnnn求證：中，已知】在數(shù)列【例)134(21)(),134(21)(),(),(22212???????nnnSnBnnnSnAnBnAnn指在提設(shè)條件下求證：命題指在提設(shè)條件下求證：命題兩個子命題證：依題意把命題分為：下用螺旋式歸納法證明成立即：都成立，和，數(shù)綜上可得，對任意自然成立成立，即假設(shè)成立成立，即假設(shè)成立時，當)134(21),134(21)()()1(]1)1(3)1(4)[1(21)26634(211)1(3)134(21)134(21)()3()()134(213)134(21),134(21)()2()1(,1)11314(121,11)11(131)1(2221222231221221222222212221211????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnSnnnSnBnAnkAkkkkkkkkSkkkkkaSSkkkSkBkBkkkkkkkaSSkkkSkAASannnnkknkkknk體，試證之；少構(gòu)成一個四面條線段，則這些線段至它們之間連有不共面，個點，其中任意四點都】設(shè)空間中有【例13)2(322 ??mmm個四面體；則這些線段至少構(gòu)成一條線段，個點間連有設(shè)空間命題個四面體；則這些線段至少構(gòu)成一條線，個點間連有設(shè)空間命題，定義：有關(guān)的命題，記其為證：這是一個與自然數(shù)1)1(2)2(13:)(1)1(2)1()2(23:)()()2(22????????????mmmmmmFmmmmmmEmGmm成立；，即命題條線段，當構(gòu)成四面體即四點間連有，時，當)2(661)1(2)1(,4232)1( 2Emmmmm ????????都成立；命題知對一切，由螺旋歸納法原理便綜合條線段，從而由個點間至少連有去掉時，余下的將，由它引出的線段數(shù)一點條線段，于是其中必有個點間連有設(shè)最后證)()()(,2)4)(3)(2)(1()1()(1)1(213)1()()4(22mGmFmENmmkEkGkkAkaAkkkkkEkG?????????????)()(1)1(2132133)()()3(22kGkFkkkkAkaAkkkGkF????????線段，從而由命題條個點間至少連有去掉，余下的，將條數(shù)，由它引出的線段一點條線段，于是其中必有個點間連有設(shè)再證成立；四面體，從而一個便知這些線段至少構(gòu)成條連線，由命題個點間至少還有點去掉時，余下的條件矛盾。,1,1,3122212112??????????nnnnnnnFFFFFFFFF求證：定義為：】數(shù)列【例22211122212:)(。:)(:)(),()2(??????????kkkkkkkFFFFkQFFFkPkQkPkn均成立；，由此，對一切自然數(shù)也正確，即則可得成立，而由:)()()1()2()()(22)(),1(422232121222122112212nQnPnkQFFFFFFFFFFFFFFFkQkPkkkkkkkkkkkkkkk??????????????????????????成立即：則：)1(。 kn ? 1?? kn（ 2）起點增多：有些命題在由 向 跨進時，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當增多起點． 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧 （ 3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當可以改變跨度，但注意起點也應(yīng)相應(yīng)增多． （ 4）選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)不一定要拘泥于 “ 假設(shè) n=k時命題成立”不可，需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用． （ 5）變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時，需要引進一個輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強命題才能滿足歸納的需要，才能順利進行證明． 歸納、猜想和證明 在數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過特例或根據(jù)一部分對象得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種不嚴格的推理方法稱為不完全歸納法．不完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進一步檢驗或證明，經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法證明．不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題極好的方法． 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的一般方法 ,10 ?? a ,11 aa ?? aaa nn ???11例 1．設(shè) Nn? 1?na求證：對一切 均有 : 121 ?? aa Nnaaannnn ???? ??? ,)1( 12 12例 2．已知 naNn ,?求證：對一切 都是整數(shù)． 309 0 0 0 ?a,11 ?a ,1 21nnn aaa ???)1,( * ?? nNn例 3 已知 求證： 20 05122020 ??a,11 ?a ,121 nnn aaa ???)2020,2,1( ??n例 4 已知 求證： 例 5 證明 : 分析：現(xiàn)考慮 f(n)0,并且在歸納 n=k+1時有 : 35)1()31()21(1 222 ?????n?5/3f(k)+1/(k+1)178。 原命題就可以轉(zhuǎn)化為證明 : 1+（ 1/2） 178。+...+（
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