20xx數(shù)學(xué)歸納法講義-文庫吧在線文庫
【正文】 21[21]s i ns i ns i ns i n[ s i n211212s i n2c o s2s i n)s i n( s i n2111)(,2)1(111112122211212221212221212221212221121212121NmnkmkmkmmmNmnmkkkkkkkkmkkkkkkkkkkkkkkk???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????，不等式得證；由反向歸納法原理可得時(shí)不等式成立；即： kn ?)(11)2( 211 kk akknkn ??? ??????? ? ?時(shí)，令時(shí)不等式成立，當(dāng)假設(shè))(1s i n)(11s i n 21121 kkk akak ????? ????????? ? ??由假設(shè))s i ns i ns i n(s i n11)(1s i n 12121 ??????????? kkk akak ????? ??)](1s i n)s i n)s i ns i n[(s i n11 21121 kkk akak ????? ?????????? ? ??)s i ns i n(s i n11)(1s i n1 2121 kk akakk k ???? ?????????? ??數(shù)學(xué)歸納法的其他形式： 那么根據(jù)（ 1）、（ 2）、（ 3）就可以斷定命題 P(n）、 Q（ n）對(duì)一切正整數(shù) n （ ≥n0 ）都成立． (1) P(n0) (n0 ∈ N*)成立 ； 3. （螺旋式歸納法） ：設(shè) P(n)和 Q（ n）是兩個(gè)與自然數(shù)有 n關(guān)的命題，如果 : (2) 假設(shè) P(k) (k∈ N*, k≥n0)成立 ,能推出 Q(k)也成立； (3) 假設(shè) Q(k)(k∈ N*, k≥n0)成立 , 能推出 P（ k+1)也成立； )(,1)1(3,3 1222 Nnnnana nn ????? ?}{ na例 中，已知 )134(21),134(21 22212 ??????? nnnSnnnS nn求證： ? ?)134(21),134(21),(,1)1(3,31222121222?????????????nnnSnnnSNnnnanaannnnn求證：中，已知】在數(shù)列【例)134(21)(),134(21)(),(),(22212???????nnnSnBnnnSnAnBnAnn指在提設(shè)條件下求證：命題指在提設(shè)條件下求證：命題兩個(gè)子命題證：依題意把命題分為：下用螺旋式歸納法證明成立即：都成立，和，數(shù)綜上可得，對(duì)任意自然成立成立，即假設(shè)成立成立，即假設(shè)成立時(shí)，當(dāng))134(21),134(21)()()1(]1)1(3)1(4)[1(21)26634(211)1(3)134(21)134(21)()3()()134(213)134(21),134(21)()2()1(,1)11314(121,11)11(131)1(2221222231221221222222212221211????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnSnnnSnBnAnkAkkkkkkkkSkkkkkaSSkkkSkBkBkkkkkkkaSSkkkSkAASannnnkknkkknk體，試證之；少構(gòu)成一個(gè)四面條線段，則這些線段至它們之間連有不共面，個(gè)點(diǎn)，其中任意四點(diǎn)都】設(shè)空間中有【例13)2(322 ??mmm個(gè)四面體；則這些線段至少構(gòu)成一條線段，個(gè)點(diǎn)間連有設(shè)空間命題個(gè)四面體；則這些線段至少構(gòu)成一條線，個(gè)點(diǎn)間連有設(shè)空間命題，定義：有關(guān)的命題，記其為證：這是一個(gè)與自然數(shù)1)1(2)2(13:)(1)1(2)1()2(23:)()()2(22????????????mmmmmmFmmmmmmEmGmm成立；，即命題條線段，當(dāng)構(gòu)成四面體即四點(diǎn)間連有，時(shí)，當(dāng))2(661)1(2)1(,4232)1( 2Emmmmm ????????都成立；命題知對(duì)一切，由螺旋歸納法原理便綜合條線段，從而由個(gè)點(diǎn)間至少連有去掉時(shí)，余下的將，由它引出的線段數(shù)一點(diǎn)條線段，于是其中必有個(gè)點(diǎn)間連有設(shè)最后證)()()(,2)4)(3)(2)(1()1()(1)1(213)1()()4(22mGmFmENmmkEkGkkAkaAkkkkkEkG?????????????)()(1)1(2132133)()()3(22kGkFkkkkAkaAkkkGkF????????線段，從而由命題條個(gè)點(diǎn)間至少連有去掉，余下的，將條數(shù)，由它引出的線段一點(diǎn)條線段，于是其中必有個(gè)點(diǎn)間連有設(shè)再證成立；四面體，從而一個(gè)便知這些線段至少構(gòu)成條連線，由命題個(gè)點(diǎn)間至少還有點(diǎn)去掉時(shí)，余下的條件矛盾。 原命題就可以轉(zhuǎn)化為證明 : 1+（ 1/2） 178。 知，對(duì)一切 n∈N 時(shí)有 時(shí)命題正確 . 證法二： ? ?1 131 , 422a a a a? ? ? ? 102aa? ? ? ? ； 1176。1/(k*(k+1))=1/k1/(k+1), 因此可以取 f(k)=1/k 取 m=5（起點(diǎn)后移） ? ??? ? ??? ?????????nini iiini ii1 2 112 )12)(12()12(1)12(11121證明一： )12 112 1(21)12)(12( 2121211 ????????????????niiiniiii35321)12131(211 ??????? ?n證明二（提示：數(shù)學(xué)歸納法，加強(qiáng)命題法） )2(2 53512 1 21???? ??? nnnii例 6 求證： ????nii1 35121 對(duì)任意正整數(shù) n都成立 ? ?na? ?1 11 , 42n n na a a a?? ? ?? ?nN?1 2nnaa ???? ?na 例 已知數(shù)列
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