【正文】 數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。6．合并求和法：如求1002992+982972+L+2212的和。L1=1+10+102+L+10k=解：①ak=11123k個1k(101)911Sn=[(101)+(1021)+L+(10n1)]=[(10+102+L+10n)n]99110(10n1)10n+19n10=[n]= 9981②Sn=(x2+11142n+2)+(x++2)+L+(x++2)242nxxx111++L+)+2n x2x4x2n=(x2+x4+L+x2n)+(x2(x2n1)x2(x2n1)(x2n1)(x2n+2+1)（1）當(dāng)x185。1時，Sn=++2n=+2n 222n2x1x1x(x1)（2）當(dāng)x=177。1討論。0)，求前n項(xiàng)和。解：Sn=1+3a+5a2+L+(2n1)an1aSn=a+3a2+5a3+L+(2n1)an(1) (2)(1)(2):(1a)Sn=1+2a+2a2+2a3+L+2an1(2n1)an2a(1an1)n當(dāng)a185。n(n+1)(a=1)239。2練習(xí):求Sn=+2+3+L+n 答案: Sn=237。(a185。a(a1)012n例4求證：Cn+3Cn+5Cn+L+(2n+1)Cn=(n+1)2n mnm思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。例5．已知數(shù)列{an},an=2[n(1)n],求Sn。解：an=2n+2(1)，若n=2m,則Sn=S2m=2(1+2+3+L+2m)+2n229。n(n+1)\Sn=237。預(yù)備：已知f(x)=a1x+a2x2+L+anxn,且a1,a2,a3,Lan成等差數(shù)列，n為正偶數(shù)，又f(1)=n2,f(1)=n，試比較f()與3的大小。(a1+an)n=n2236。f(1)=a1+a2+a3+L+an=n239。 \237。1nd=2238。f(1)=a1+a2a3+Lan1+an=n239。2236。1\a1=1\an=2n1d=2238。32180。5（3）an=,1,n(n+2)；1n+n+1；（4）a,2a2,3a3，nan,；（5）1180。4,3180。1時，Sn=a+2a2+3a3+…+nan，aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1，兩式相減得(1a)Sn=a+a+a+…+ana23nn+1a(1an)=nan+1，1anan+2(n+1)an+1+a∴Sn=． 2(1a)（5）∵n(n+2)=n2+2n，∴ 原式=(12+22+32+…+n2)+2180。6n5(n為奇數(shù))2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=237。解：奇數(shù)項(xiàng)組成以a1=1為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成以a2=4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列； 當(dāng)n為奇數(shù)時，奇數(shù)項(xiàng)有n+1n1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，22n+1n1(1+6n5)4(142)(n+1)(3n2)4(2n11)2∴Sn=，+=+21423當(dāng)n為偶數(shù)時，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別有n項(xiàng)，2nn(1+6n5)4(142)n(3n2)4(2n1)2∴Sn=，+=+21423236。239。nn(3n2)4(21)239。23238。1討論。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。差數(shù)列求和公式：Sn(a1+an)n=2=na+n(n1)12d236。237。1(1q)a1238。1)nS=229。k=(n+1)(2n+1)k=16nSn=229。log=log13x32222。二、錯位相減這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{anbn}的前n1例：求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a為常數(shù))的前n項(xiàng)和。1)2(1a)1a當(dāng)a=0時，此式也成立。1)2(1a)1a解析：數(shù)列是由數(shù)列{n}與an對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況。[例5] 求證：Cn+3Cn+5Cn++(2n+1)Cn=(n+1)2證明： 設(shè)Sn=Cn+3Cn+5Cn++(2n+1)Cn…………………………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得nn110（反序）Sn=(2n+1)Cn+(2n1)Cn++3Cn+Cn012n012nn{{}又由Cn=Cnmnm可得1n1n…………..……..② +CnSn=(2n+1)Cn+(2n1)Cn++3Cn001n1n①+②得2Sn=(2n+2)(Cn+Cn++Cn+Cn)=2(n+1)2n（反序相加）∴Sn=(n+1)2n解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的。例：Sn=1+35+7…+(1)n(2n1)解法：按n為奇偶數(shù)進(jìn)行分組，連續(xù)兩項(xiàng)為一組。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）an=f(n+1)f(n)（2）sin1=tan(n+1)tanncosncos(n+1)111(2n)2111=（3）an=（4）an==1+()n(n+1)nn+1(2n1)(2n+1)22n12n+1（5）an=1111=[] n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)(6)an=n+212(n+1)n1111n=n=,則S=1 nn1nnn(n+1)2n(n+1)2n2(n+1)2(n+1)21111，…，…的前n項(xiàng)和S 1180。43180。11111249。 2234。六、合并求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，：數(shù)列{an}：a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1an，：設(shè)S2002＝a1+a2+a3++a2002由a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1an可得a4=1,a5=3,a6=2,a7=1,a8=3,a9=2,a10=1,a11=3,a12=2,……a6k+1=1,a6k+2=3,a6k+3=2,a6k+4=1,a6k+5=3,a6k+6=2∵ a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+4+a6k+5+a6k+6=0（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴ S2002＝a1+a2+a3++a2002（合并求和）＝(a1+a2+a3+a6)+(a7+a8+a12)++(a6k+1+a6k+2++a6k+6)++(a1993+a1994++a1998)+a1999+a2000+a2001+a2002＝a1999+a2000+a2001+a2002＝a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+4＝5七、拆項(xiàng)求和先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。10(10n1)249。101n10n59n50解析：根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，通項(xiàng)可以拆成兩項(xiàng)或三項(xiàng)的常見數(shù)列，然后再分別求和。na1(q=1)239。a1(1qn)aaq 1n=(q185。1q238。n(n+1)249。如果一個數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。1246。247。10248。2246。247。10248。8246。247。10248。9246。247。1246。247。10248。9246。2246。247。247。10248。10248。2246。247。10248。8246。247。10248。8246。247。10248。5246。247。10248。9246。247。10248。1246。247。1