【文章內容簡介】 2+3a3+…+nan，aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1，兩式相減得(1a)Sn=a+a+a+…+ana23nn+1a(1an)=nan+1，1anan+2(n+1)an+1+a∴Sn=． 2(1a)（5）∵n(n+2)=n2+2n，∴ 原式=(12+22+32+…+n2)+2180。(1+2+3+…+n)=（6）設S=sin21+sin22+sin23+ 又∵S=sin289+sin288+sin287+ ∴ 2S=89，S=n(n+1)(2n+7)．6+sin289，+sin21，89． 2236。6n5(n為奇數)2．已知數列{an}的通項an=237。n，求其前n項和Sn．2(n為偶數)238。解：奇數項組成以a1=1為首項，公差為12的等差數列，偶數項組成以a2=4為首項，公比為4的等比數列； 當n為奇數時，奇數項有n+1n1項，偶數項有項，22n+1n1(1+6n5)4(142)(n+1)(3n2)4(2n11)2∴Sn=，+=+21423當n為偶數時，奇數項和偶數項分別有n項，2nn(1+6n5)4(142)n(3n2)4(2n1)2∴Sn=，+=+21423236。(n+1)(3n2)4(2n11)+239。239。23所以，Sn=237。nn(3n2)4(21)239。+239。23238。(n為奇數)．(n為偶數)四、小結：1．掌握各種求和基本方法；2．利用等比數列求和公式時注意分q=1或q185。1討論。第三篇：數列求和方法總結數列求和的基本方法和技巧數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎。在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位。數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧。一、公式法利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。差數列求和公式：Sn(a1+an)n=2=na+n(n1)12d236。na1(q=1)等比數列求和公式：S=239。237。ann239。1(1q)a1238。1q=anq1q(q185。1)nS=229。k=1n(n+1)S21nn=k=12229。k=(n+1)(2n+1)k=16nSn=229。k3=[1(n+1)]2k=12例 ：已知log123x=log，求x+x+x3++xn+3解：由log13x=log3222。log=log13x32222。x=22由等比數列求和公式得Sn=x+x2+x3++xn＝x(1xn)1x 1(11＝n)11＝1－12n解析：如果計算過程中出現了這些關于n的多項式的求和形式，可以直接利用公式。二、錯位相減這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an項和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列。bn}的前n1例：求數列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a為常數)的前n項和。解：若a=0, 則Sn=0若a=1,則Sn=1+2+3+…+n=若a≠0且a≠1則Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1∴(1a)Sn=a+ a2+ a3+…+annan+1n+1aa= nan+11an(n+1)2n+1n+1aana ∴Sn=(a185。1)2(1a)1a當a=0時，此式也成立。∴Sn=n(n+1)(a=1)2aan+1nan+1(a185。1)2(1a)1a解析：數列是由數列{n}與an對應項的積構成的，此類型的才適應錯位相減，（課本中的的等比數列前n項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行討論，最后再綜合成兩種情況。三、倒序相加這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)。[例5] 求證：Cn+3Cn+5Cn++(2n+1)Cn=(n+1)2證明： 設Sn=Cn+3Cn+5Cn++(2n+1)Cn…………………………..①把①式右邊倒轉過來得nn110（反序）Sn=(2n+1)Cn+(2n1)Cn++3Cn+Cn012n012nn{{}又由Cn=Cnmnm可得1n1n…………..……..② +CnSn=(2n+1)Cn+(2n1)Cn++3Cn001n1n①+②得2Sn=(2n+2)(Cn+Cn++Cn+Cn)=2(n+1)2n（反序相加）∴Sn=(n+1)2n解析：此類型關鍵是抓住數列中與首末兩端等距離的兩項之和相等這一特點來進行倒序相加的。四、分組求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。例：Sn=1+35+7…+(1)n(2n1)解法：按n為奇偶數進行分組，連續(xù)兩項為一組。當n為奇數時：Sn=(1+3)+(5+7)+(9+11)+…+(2n+1)=2n1+(2n+1)2=n當n為偶數時：Sn=(1+3)+(5+7)+(9+11)+…+[(2n+3)+(2n+1)]=2=n∴Sn=n 2五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：（1）an=f(n+1)f(n)（2）sin1=tan(n+1)tanncosncos(n+1)111(2n)2111=（3）an=（4）an==1+()n(n+1)nn+1(2n1)(2n+1)22n12n+1（5）an=1111=[] n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)(6)an=n+212(n+1)n1111n=n=,則S=1 nn1nnn(n+1)2n(n+1)2n2(n+1)2(n+1)21111，…，…的前n項和S 1180。32180。43180。5n(n+2)例：求數列解：∵1111=(）n(n+2)2nn+2Sn=1233。11111249。(1)+()++() 2234。324nn+2235。1111(1)22n+1n+2311= 42n+22n+4=解析：要先觀察通項類型，在裂項求和，而且要注意剩下首尾兩項，還是剩下象上例中的四項，后面還很可能和極限、求參數的最大小值聯(lián)系。六、合并求和針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，：數列{an}：a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1an，：設S2002＝a1+a2+a3++a2002由a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1an可得a4=1,a5=3,a6=2,a7=1,a8=3,a9=2,a10=1,a11=3,a12=2,……a6k+1=1,a6k+2=3,a6k+3=2,a6k+4=1,a6k+5=3,a6k+6=2∵ a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+4+a6k+5+a6k+6=0（找特殊性質項）∴ S2002＝a1+a2+a3++a2002（合并求和）＝(a1+a2+a3+a6)+(a7+a8+a12)++(a6k+1+a6k+2++a6k+6)++(a1993+a1994++a1998)+a1999+a2000+a2001+a2002＝a1999+a2000+a2001+a2002＝a6k+1+a6k+2+a6k+3+