數(shù)列求和方法總結(jié)(編輯修改稿)
2024-12-14 00:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( ) 2( ) ( )nna a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 234 3 2 0 52 3 5 0 222nS S n n? ? ? ? ?． 故 223 2 0 5 34223 2 0 5 3 5 0 2 3 522nn n nTn n n? ????? ?? ????， ， ．≤≥ 4 點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于帶絕對(duì)值號(hào)的數(shù)列求和問題，應(yīng)先弄清 n 取什么值時(shí)， 0na? 或 0na? ，然后再求解．本題應(yīng)注意的是當(dāng) 35n≥ 時(shí)， nnaa?? 也是一個(gè)等差數(shù)列． 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)： 在等差數(shù)列 ??na 中，若 1 00ad??， ，則從某項(xiàng) ma 起， 0( )na n m? ≥ ，故數(shù)列 ? ?na的前 n 項(xiàng)和12nnnmS n mS S S n m?????? ? ? ???， ， ； ≥； 當(dāng) 1 00ad??， ，類似有12.nnnmS n mS S S n m????? ? ?????， ， ≥ ： 1 等比數(shù)列求和公式有兩個(gè)，但這兩個(gè)公式是各管一塊，互不牽扯，所以在等比數(shù)列求和中就出現(xiàn)一個(gè)公式選擇的問題，這取決于公比 1q? 還是 1q? . 二．非等差、等比數(shù)列求和 （一）可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和 . 1. “合項(xiàng)”法 是處理數(shù)列求和問題的一種重要方 法，它利用加法的交換律和結(jié)合律將“不規(guī)則和”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則和”，化繁為簡(jiǎn)． 例 1 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 11 5 9 13 ( 1 ) ( 4 3 )nnSn ?? ? ? ? ? ? ? ?．求 16S 的值． 解 析 ： 采 用 相 鄰 兩 項(xiàng) 直 接 合并 ．這里 16n? 為偶數(shù)，16 ( 1 5 ) ( 9 13 ) [ ( 4 15 3 ) ( 4 16 3 ) ]S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共合并成8對(duì) 4 8 32? ? ??． 點(diǎn)評(píng) ：對(duì)于正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列求和，可考慮利用合項(xiàng)求和的方法，在使用合項(xiàng)求和時(shí)，要弄清求的是前多少項(xiàng)的和，如果是偶數(shù)項(xiàng)，兩兩合并，正好配對(duì)，若是奇數(shù)項(xiàng)，一般留首項(xiàng)，然后再合并 . 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)： 合項(xiàng)法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 . 例 2 若等差數(shù)列 ??na 共有 21n? 項(xiàng)，求證： 1nS S a ???奇 偶 ． （ *） （ SS奇 偶， 分別為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的和） 分析 ： 1 3 2 1 2 1nnS a a a a??? ? ? ? ?奇 ， 2 4 2 nS a a a? ? ? ?偶 ， ∴ SS?奇 偶 1a留 下 其 余 相 鄰兩 項(xiàng) 合 并 1 3 2 5 4 2 1 2( ) ( ) ( )nna a a a a a a?? ? ? ? ? ? ?n共 合 并 成 對(duì) 11na n d a ???．還可以留下最后一項(xiàng)，其余相鄰兩項(xiàng) 合并 ． 證明 ： 1 2 3 4 2 1 2 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 2n n n nS S a a a a a a a nd a nd a nd a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?奇 偶 ． 其實(shí) 1na? 是數(shù)列 ??na 的前 21n? 項(xiàng)的中項(xiàng)，所以上面（ *）式，又可寫成 S S a??奇 偶 中，這是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，有著廣泛的應(yīng)用．因此，同學(xué)們不僅要會(huì)用這種方法配對(duì)求和，還要熟練掌握這個(gè)常用結(jié)論． 點(diǎn)評(píng) ：對(duì)于正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列求和，可考慮利用合項(xiàng)求和的方法，在使用合項(xiàng)求和時(shí)，要弄 5 清求的是前多少項(xiàng)的和，如果是偶數(shù)項(xiàng)，兩兩合并， 正好配對(duì)，若是奇數(shù)項(xiàng)，一般留首項(xiàng)，然后再合并 . 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)： 合項(xiàng)法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 . 2. 拆項(xiàng)法 例 3 求 1 1 1 11 3 5 72 4 8 16， ， ，
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