數(shù)列求和方法總結(編輯修改稿)
2024-12-14 00:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( ) 2( ) ( )nna a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 234 3 2 0 52 3 5 0 222nS S n n? ? ? ? ?． 故 223 2 0 5 34223 2 0 5 3 5 0 2 3 522nn n nTn n n? ????? ?? ????， ， ．≤≥ 4 點評： 對于帶絕對值號的數(shù)列求和問題，應先弄清 n 取什么值時， 0na? 或 0na? ，然后再求解．本題應注意的是當 35n≥ 時， nnaa?? 也是一個等差數(shù)列． 應用知識點： 在等差數(shù)列 ??na 中，若 1 00ad??， ，則從某項 ma 起， 0( )na n m? ≥ ，故數(shù)列 ? ?na的前 n 項和12nnnmS n mS S S n m?????? ? ? ???， ， ； ≥； 當 1 00ad??， ，類似有12.nnnmS n mS S S n m????? ? ?????， ， ≥ ： 1 等比數(shù)列求和公式有兩個，但這兩個公式是各管一塊，互不牽扯，所以在等比數(shù)列求和中就出現(xiàn)一個公式選擇的問題，這取決于公比 1q? 還是 1q? . 二．非等差、等比數(shù)列求和 （一）可轉化為等差、等比數(shù)列求和 . 1. “合項”法 是處理數(shù)列求和問題的一種重要方 法，它利用加法的交換律和結合律將“不規(guī)則和”轉化為“規(guī)則和”，化繁為簡． 例 1 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 11 5 9 13 ( 1 ) ( 4 3 )nnSn ?? ? ? ? ? ? ? ?．求 16S 的值． 解 析 ： 采 用 相 鄰 兩 項 直 接 合并 ．這里 16n? 為偶數(shù)，16 ( 1 5 ) ( 9 13 ) [ ( 4 15 3 ) ( 4 16 3 ) ]S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共合并成8對 4 8 32? ? ??． 點評 ：對于正負交替出現(xiàn)的數(shù)列求和，可考慮利用合項求和的方法，在使用合項求和時，要弄清求的是前多少項的和，如果是偶數(shù)項，兩兩合并，正好配對，若是奇數(shù)項，一般留首項，然后再合并 . 應用知識點： 合項法求數(shù)列的前 n 項和 . 例 2 若等差數(shù)列 ??na 共有 21n? 項，求證： 1nS S a ???奇 偶 ． （ *） （ SS奇 偶， 分別為奇數(shù)項、偶數(shù)項的和） 分析 ： 1 3 2 1 2 1nnS a a a a??? ? ? ? ?奇 ， 2 4 2 nS a a a? ? ? ?偶 ， ∴ SS?奇 偶 1a留 下 其 余 相 鄰兩 項 合 并 1 3 2 5 4 2 1 2( ) ( ) ( )nna a a a a a a?? ? ? ? ? ? ?n共 合 并 成 對 11na n d a ???．還可以留下最后一項，其余相鄰兩項 合并 ． 證明 ： 1 2 3 4 2 1 2 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 2n n n nS S a a a a a a a nd a nd a nd a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?奇 偶 ． 其實 1na? 是數(shù)列 ??na 的前 21n? 項的中項，所以上面（ *）式，又可寫成 S S a??奇 偶 中，這是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，有著廣泛的應用．因此，同學們不僅要會用這種方法配對求和，還要熟練掌握這個常用結論． 點評 ：對于正負交替出現(xiàn)的數(shù)列求和，可考慮利用合項求和的方法，在使用合項求和時，要弄 5 清求的是前多少項的和，如果是偶數(shù)項，兩兩合并， 正好配對，若是奇數(shù)項，一般留首項，然后再合并 . 應用知識點： 合項法求數(shù)列的前 n 項和 . 2. 拆項法 例 3 求 1 1 1 11 3 5 72 4 8 16， ， ，
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