數(shù)列求和方法總結(jié)-展示頁(yè)
2024-11-20 00:11本頁(yè)面
【正文】 ? ? ? ? 1 1 1 1( 1 3 2 1 ) 2 4 8 2 nn ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 2111(1 2 1 ) 122 112212nnnn n??????? ??? ? ? ? ??． 點(diǎn)評(píng)： 拆項(xiàng)的目的是把非等差、等比數(shù)列的求和問(wèn)題通過(guò)拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差、 數(shù)列的求和問(wèn)題 .本題中若將數(shù)列改為“ 112? ， 134? ， 158? ， 17 16? ，?”，則需要用錯(cuò)位相減法求其前 n 項(xiàng)和． 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：拆項(xiàng)法求和 . 例 4.（ 2020 山東卷 17）設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 211 2 33 3 3 3n n na a a a?? ? ? ? ?…， n?*N 1 數(shù)列求和 方法總結(jié) 一．等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題 總結(jié) ： dnnnaaanS nn 2 )1(2 )( 11 ????? ：????? ???????? )1(11)1()1(111qq qaaqqaqnaS nnn 例 1 已知3log1log 23 ??x，求 ??????????? nxxxx 32 的前 n 項(xiàng)和 . 解 ：由212l ogl og3l og 1l og 3323 ??????? xxx 由等比數(shù)列求和公式得： nn xxxxS ???????? 32 = xxx n??1 )1( ＝211)211(21?? n ＝ 1－n21 例 Sn＝ 1+2+3+…+n ， n∈ N*,求1)32()( ??? nn Sn Snf 的最大值 . 解：由等差數(shù)列求和公式得 )1(21 ?? nnSn， )2)(1(21 ??? nnSn ∴ 1)32()( ??? nn Sn Snf ＝ 64342 ?? nn n ＝nn64341??＝50)8(12 ?? nn 501? ∴ 當(dāng) 88?n，即 n＝ 8 時(shí)， 501)(max ?nf. 2. “整體值”的運(yùn)用 例 3. ??na 是等差數(shù)列，前 10 項(xiàng)的和為 100，前 100 項(xiàng)的和為 10，求前 110 項(xiàng)的和 110S ． 解析： 運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)： 若 m n p q? ? ? ，則 m n p qa a a a? ? ? ． ∵ 1 1 1 0 01 0 0 1 0 1 1 1 2 1 0 0 9 0 ( ) 902aaS S a a a ?? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 11 100 2aa? ?? ． 因此， 1 1 1 0 0110 1 1 0 ( ) 1102aaS ?? ? ?． 點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用公式求和時(shí)，已知 1 na d a， ， 可以求 nS ，但往往在不易求得這些值時(shí)，利用“整體值”求和十分有效，這種“整體值”的運(yùn)用在后面的等比數(shù)列求和時(shí)也常用． 2 在等差數(shù)列中，若 ()m n p q m n p q ?? ? ? ? N， ， ，則m n p qa a a a? ? ?，特別地， 1 2 1nna a a a ?? ? ? ?． 例 4. 在等差數(shù)列 ??na 中，共有 (2 1)n? 項(xiàng)， 132 120SS??奇 偶， ，求 n． 解法一： 由性質(zhì)得 1S nSn??奇偶，所以 132 1120 nn??．解得 10n? ． 解法二： 因?yàn)?2 1 1(2 1)nnS n a???? ，又 1 12na S S? ? ? ?奇 偶 ，所以 12( 2 1) 132 120n ? ? ?．解得 10n? ． 點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)中，中間項(xiàng)對(duì)推導(dǎo)和記憶性質(zhì)十分重要． 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)： （ 1）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n 的等差數(shù)列 ??na 中， na 與 1na? 為中間兩項(xiàng)， 1()
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