第30講數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 年遼寧卷）已知,其中,設(shè),。(I) 寫出；(II) 證明:對(duì)任意的,恒有。解析：(I)由已知推得,從而有；(II) 證法1:當(dāng)時(shí)，當(dāng)x0時(shí), ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)，所以對(duì)任意的，因此結(jié)論成立。證法2：當(dāng)時(shí), 當(dāng)x0時(shí), ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[1,0]上為減函數(shù)所以對(duì)任意的又因所以因此結(jié)論成立。證法3：當(dāng)時(shí), 當(dāng)x0時(shí), ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)。所以對(duì)任意的由對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得： 因此結(jié)論成立。點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。題型6：數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題例11．某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （?。┙馕觯杭追桨甘堑缺葦?shù)列，乙方案是等差數(shù)列，①甲方案獲利：（萬元），銀行貸款本息：（萬元），故甲方案純利：（萬元），②乙方案獲利：（萬元）；銀行本息和：（萬元）故乙方案純利：（萬元）；綜上可知，甲方案更好。點(diǎn)評(píng)：這是一道比較簡單的數(shù)列應(yīng)用問題，由于本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解。例12．（2005湖南20）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c。 （Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） （Ⅱ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。解析：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得：因?yàn)閤10，所以ab。猜測：當(dāng)且僅當(dāng)ab，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變。（Ⅲ）若b的值使得xn0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0xn3－b, n∈N*, 特別地
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