高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義21數(shù)列極限與數(shù)學(xué)歸納法(編輯修改稿)
2025-05-14 13:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 【解析】（1）由已知得,是，公比為c的等比數(shù)列，則．（2） ．①當(dāng)時(shí)，原式。②當(dāng)時(shí)，原式＝。③當(dāng)時(shí)，原式=．【例9】求和：【解析】【例10】已知，是數(shù)列的前n項(xiàng)和（ ）(A） 和都存在 (B) 和都不存在 (C) 存在，不存在 (D) 不存在，存在【解析】選A：因?yàn)閿?shù)列的極限與數(shù)列前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，所以，又因?yàn)?，所以；【例11】已知無(wú)窮數(shù)列，首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且．若數(shù)列的各項(xiàng)和為，則 【解析】代換成，得到，兩式相減得到，所以是一個(gè)從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，又可求得，所以可列等式，解得（舍）【例12】如圖，在等腰直角三角形ABC中，已知∠A176。，斜邊BC長(zhǎng)為，途中排列著的內(nèi)接正方形的面積分別為求：（1）無(wú)窮個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和；（2）無(wú)窮個(gè)正方形的面積之積【解析】（1） （2）四、難題突破：【例1】若,求證:．【解析】① 時(shí),左=, 右=,左=右② 設(shè)時(shí), 時(shí), =【例2】已知函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，求證：（）【解析】（1）當(dāng)，原結(jié)論顯然成立（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜合可知，對(duì)任意都成立【例3】設(shè)，用表示的最大奇因數(shù)，如：，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式為 【解析】；；；，由歸納法可得：，∴的前項(xiàng)和的表達(dá)式為：五、課堂練習(xí)：1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明.2. 設(shè). 用數(shù)學(xué)歸納法證明: . 3. 求證能被64整除.4. 已知函數(shù). 記數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 且有, 當(dāng)時(shí), 有.(1) 計(jì)算。(2) 猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式, 并加以證明.5. 試舉出符合下列條件的數(shù)列,的例子.(1) 對(duì)于, 有, 且:____________________
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