高三數(shù)學第一輪復習講義1集合及其運算(編輯修改稿)
2025-05-14 12:28 本頁面
【文章內容簡介】 知識和基本解題技能，解答時應通過求解不等式及得到集合A、B. 在進行集合運算時，通常借助數(shù)軸，可以直觀地獲得正確的結果. 解不等式時必須注意思維的嚴謹性. 解對數(shù)不等式應“抓住單調性，不忘定義域”，實現(xiàn)超越不等式向一般不等式的轉化.第（2）問關鍵是弄清集合的特征、性質，將問題中的“集合”外衣去掉，就轉化成純代數(shù)問題. 本小題的實質是方程有負根時求參數(shù)的取值范圍，則可運用方程理論（判別式、韋達定理等）解之.第（3）問在求解時一般先將參與運算的集合化簡，再進行求解，關鍵是把看作是一個整體，該集合與集合C的交集為空間、并集為全集，因此該集合C是R的補集，進而求得集合C. 本題的最終目標是求，的值. 而從條件與結論的匹配關系來看，集合A、B、C的限制條件均為不等式，如何從中獲得等量關系進而求出，的值呢？這就要從一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)這三者之間的關系入手，這是一種十分重要的思想方法. 要善于從數(shù)和形、等于不等、等價轉化等角度去深刻理解這三者之間的聯(lián)系.【詳解】：（1）由得，即，∴.∴.由得：，∴.綜上，得.（2）由得，方程有負實數(shù)根.①若（*）式有一個負實數(shù)根、一個正實數(shù)根（或一個根為0），則令，得；②若（*）式有兩個負實數(shù)根，則，得；綜上，.（3）∵.由，得.又∵，故，是方程的兩根.由韋達定理可得：；例已知集合，集合，若，求實數(shù)的值.【解題導析】：本題的解法可以是：把集合A、B看作二元方程的解集，從而把轉化為一個一元二次方程組無解的問題加以討論，這是一種解題視角，若把A、B看作是坐標平面上的點集，把問題轉化為解析幾何中直線位置關系問題求解，以同一問題觀察的視角不同，即解題的出發(fā)點不同，解法自然也就不同，下面提供的是前一種解法，后一種解法的思路是：聯(lián)立方程組：，第一步：驗證時的情況；第二步：，求的值；第三步：以代入求；綜合上述三步得時的值.【詳解】：由，即方程組無解.即方程組無解.由①得，代入②并整理得.……③當即時，方程③無解；當時，令，解得：或，故所求的值為.例已知集合，集合.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【解題導析】：本例涉及到方程和不等式的知識及化歸思想，首先求出A和B，然后根據(jù)條件確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】：由，∴.（1）若，則或，∴；（2）若，則.例已知集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【解題導析】：本例若從正面解，顯然需要對集合A中根的情況分類討論，補集作為一種思想方法，給我們研究問題開辟了新的解題途徑，可以使解題過程簡化，所以在解題時“正難則反”是一種重要的策略，要有意識地區(qū)體會并運用. 在正向思維受阻時，改用逆向思維，可能會進入“柳暗花明又一村”的境地.【詳解】：若，方程無實根，則，解得，若方程的兩根、均非負，則.∴時，實數(shù)的取值范圍為，取補集：四、易錯題舉例易錯典例1：設集合，若，則的取值范圍為________．易錯分析：忽視端點．正確解析：由得，∴，由得，∴．又當時，滿足，時，也滿足，∴.溫馨提示：利用數(shù)軸處理集合的交集、并集、補集運算時，要注意端點是實心還是空心，在含有參數(shù)時，要注意驗證區(qū)間端點是否符合題意．易錯典例2：設集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_______.易錯分析：遺忘空集．正確解析：由，所以當時，滿足，此時不等式無解，所以，當即時，由可知，綜上可知實數(shù)的取值范圍是.[來源:學?？啤＞W(wǎng)]溫馨提示：在中容易忽視集合這一情況，預防出現(xiàn)錯誤
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