高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義1集合及其運(yùn)算(編輯修改稿)
2025-05-14 12:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 知識(shí)和基本解題技能，解答時(shí)應(yīng)通過(guò)求解不等式及得到集合A、B. 在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，通常借助數(shù)軸，可以直觀地獲得正確的結(jié)果. 解不等式時(shí)必須注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 解對(duì)數(shù)不等式應(yīng)“抓住單調(diào)性，不忘定義域”，實(shí)現(xiàn)超越不等式向一般不等式的轉(zhuǎn)化.第（2）問(wèn)關(guān)鍵是弄清集合的特征、性質(zhì)，將問(wèn)題中的“集合”外衣去掉，就轉(zhuǎn)化成純代數(shù)問(wèn)題. 本小題的實(shí)質(zhì)是方程有負(fù)根時(shí)求參數(shù)的取值范圍，則可運(yùn)用方程理論（判別式、韋達(dá)定理等）解之.第（3）問(wèn)在求解時(shí)一般先將參與運(yùn)算的集合化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求解，關(guān)鍵是把看作是一個(gè)整體，該集合與集合C的交集為空間、并集為全集，因此該集合C是R的補(bǔ)集，進(jìn)而求得集合C. 本題的最終目標(biāo)是求，的值. 而從條件與結(jié)論的匹配關(guān)系來(lái)看，集合A、B、C的限制條件均為不等式，如何從中獲得等量關(guān)系進(jìn)而求出，的值呢？這就要從一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)這三者之間的關(guān)系入手，這是一種十分重要的思想方法. 要善于從數(shù)和形、等于不等、等價(jià)轉(zhuǎn)化等角度去深刻理解這三者之間的聯(lián)系.【詳解】：（1）由得，即，∴.∴.由得：，∴.綜上，得.（2）由得，方程有負(fù)實(shí)數(shù)根.①若（*）式有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根、一個(gè)正實(shí)數(shù)根（或一個(gè)根為0），則令，得；②若（*）式有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，則，得；綜上，.（3）∵.由，得.又∵，故，是方程的兩根.由韋達(dá)定理可得：；例已知集合，集合，若，求實(shí)數(shù)的值.【解題導(dǎo)析】：本題的解法可以是：把集合A、B看作二元方程的解集，從而把轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程組無(wú)解的問(wèn)題加以討論，這是一種解題視角，若把A、B看作是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何中直線位置關(guān)系問(wèn)題求解，以同一問(wèn)題觀察的視角不同，即解題的出發(fā)點(diǎn)不同，解法自然也就不同，下面提供的是前一種解法，后一種解法的思路是：聯(lián)立方程組：，第一步：驗(yàn)證時(shí)的情況；第二步：，求的值；第三步：以代入求；綜合上述三步得時(shí)的值.【詳解】：由，即方程組無(wú)解.即方程組無(wú)解.由①得，代入②并整理得.……③當(dāng)即時(shí)，方程③無(wú)解；當(dāng)時(shí)，令，解得：或，故所求的值為.例已知集合，集合.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解題導(dǎo)析】：本例涉及到方程和不等式的知識(shí)及化歸思想，首先求出A和B，然后根據(jù)條件確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】：由，∴.（1）若，則或，∴；（2）若，則.例已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解題導(dǎo)析】：本例若從正面解，顯然需要對(duì)集合A中根的情況分類討論，補(bǔ)集作為一種思想方法，給我們研究問(wèn)題開辟了新的解題途徑，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，所以在解題時(shí)“正難則反”是一種重要的策略，要有意識(shí)地區(qū)體會(huì)并運(yùn)用. 在正向思維受阻時(shí)，改用逆向思維，可能會(huì)進(jìn)入“柳暗花明又一村”的境地.【詳解】：若，方程無(wú)實(shí)根，則，解得，若方程的兩根、均非負(fù)，則.∴時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為，取補(bǔ)集：四、易錯(cuò)題舉例易錯(cuò)典例1：設(shè)集合，若，則的取值范圍為________．易錯(cuò)分析：忽視端點(diǎn)．正確解析：由得，∴，由得，∴．又當(dāng)時(shí)，滿足，時(shí)，也滿足，∴.溫馨提示：利用數(shù)軸處理集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)，要注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心，在含有參數(shù)時(shí)，要注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意．易錯(cuò)典例2：設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.易錯(cuò)分析：遺忘空集．正確解析：由，所以當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)不等式無(wú)解，所以，當(dāng)即時(shí)，由可知，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.[來(lái)源:學(xué)?？啤＞W(wǎng)]溫馨提示：在中容易忽視集合這一情況，預(yù)防出現(xiàn)錯(cuò)誤
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