高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義7函數(shù)的奇偶性(編輯修改稿)
2025-05-14 13:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是奇函數(shù), 求實(shí)數(shù)a的值.解: 函數(shù)的定義域?yàn)? 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故是是奇函數(shù)的一個(gè)必要非充分條件, 由此解得。當(dāng)時(shí), ,任取, , 即此時(shí)是奇函數(shù)。綜上所述, 實(shí)數(shù)a的值為.【例8】根據(jù)下列條件, 求函數(shù)的解析式.(1) 已知是上的奇函數(shù), 且當(dāng)時(shí), , 試求的解析式.解: 由是奇函數(shù), 且在0處有定義, 則。當(dāng)時(shí), , 則,再由是奇函數(shù), 則有。綜上所述, .(2) 已知偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義域均為, 且對(duì)任意有, 分別求與的解析式.解: 任取, 則,且,兩式相加得, 兩式相減得,綜上所述, .【例9】若定義在上的函數(shù)與均為奇函數(shù), 設(shè),(1) 若, 求的值。(2) 若在上有最大值4, 求在上的最小值.(1)解: ,故.(2)解: , 則是奇函數(shù), 且在上有最大值3,由對(duì)稱性可知在上的最小值為,即在上的最小值為.【例10】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)? 且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x, y, 都有.(1) 求證: 。(2) 求證: 是偶函數(shù)。(3) 若在上單調(diào)遞增, 解不等式.解析：(1)證明: 在中, 令, 得, 解得,在中, 令, 得, 結(jié)合得,因此.(2)證明: 函數(shù)的定義域?yàn)? 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在中, 令, 得, 結(jié)合得,由x的任意性可知, 是偶函數(shù).(3)解: 不等式,若, 則由在上單調(diào)遞增得, 解得。由是偶函數(shù)可知, 在上遞減,故若, 則, 解得或。綜上所述, 不等式的解集為.四、難題突破：例已知函數(shù)的圖像上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A． B． C． D．例已知，有下列4個(gè)命題：①若，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③若為偶函數(shù)，且，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④若為奇函數(shù)，且，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.其中正確的命題為 .（填序號(hào)）【答案】①②③④[來源:學(xué)167?？?67。網(wǎng)]五、課堂練習(xí)：1. 已知是R上的奇函數(shù), 則函數(shù)的奇偶性是_____________.2. 已知是奇函數(shù), , 且, 則____________.3. 設(shè)是偶函數(shù), 是奇函數(shù), 則________.4. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù), 則_______, ________.5. 已知偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義域都是, 它們?cè)谏系膱D像分別是圖(1)和(2), 則關(guān)于x的不等式的解集是_________________
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