高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義6函數(shù)的單調(diào)性(編輯修改稿)
2025-05-14 13:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ：， 當(dāng)或． 即或時(shí)，在R上分別是增函數(shù)和減函數(shù)．所以，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上具有單調(diào)性． 【例6】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是________．【參考答案】解：令，由單調(diào)遞增，故且在上單調(diào)遞增，則 ．【例7】已知函數(shù)是上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【參考答案】解： 又，所以．【例8】判斷下列函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性, 并利用函數(shù)單調(diào)性的定義說明理由.(1) , 在區(qū)間上。 證明: 任取, 設(shè),又, 故,即,因此在上單調(diào)遞增.(2) , 在區(qū)間上.解: 且,由知在上不是減函數(shù)。由知在上不是增函數(shù)。因而在上既非增函數(shù)又非減函數(shù).另一方面,因此在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增； 【例9】已知在上是減函數(shù), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解: 令, 則, 為減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知, 在區(qū)間上單調(diào)遞增,即有,此外, 在區(qū)間恒為正, 即不等式在上恒成立,即, 結(jié)合其單調(diào)性可知, ,綜上所述, . 【例10】已知函數(shù)(, 常數(shù)).(1) 討論函數(shù)的奇偶性, 并說明理由。(2) 若函數(shù)在上為增函數(shù), 求a的取值范圍.(1)解: 當(dāng)時(shí), 為偶函數(shù)。當(dāng)時(shí), , ,若, 則, 與相違背,若, 則, 無解。綜上所述, 當(dāng)時(shí), 為偶函數(shù), 當(dāng)時(shí), 函數(shù)為非奇非偶函數(shù).(2)解: 任取,由知: , , 由函數(shù)為增函數(shù), 則恒成立,又, , 則, 因此a的取值范圍是.【例11】已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù), 滿足. 若對(duì)任意且, 都有.(1) 判斷在區(qū)間上的單調(diào)性, 并說明理由。(2) 若實(shí)數(shù)c滿足, 求c的取值范圍。(3) 若不等式對(duì)任意的及都成立, 求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析(1)解: 任取, , 則,由題意得,結(jié)合是奇函數(shù)得, 即是上的增函數(shù).(2)解: ,由是奇函數(shù)得,結(jié)合在上單調(diào)遞增得,解得.(3)解: 由題意, , 由單調(diào)遞增, 得,故對(duì)一切恒成立,令, 則上述不等式很成立,又或, 故,解不等式得.四、難題突破：例
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