數(shù)列求和方法及數(shù)學(xué)歸納法-文庫(kù)吧
2025-09-28 10:10 本頁(yè)面
【正文】 列求和方法總結(jié)數(shù)列的求和一、教學(xué)目標(biāo)：1．熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；2．能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、拆項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求和運(yùn)算； 3．熟記一些常用的數(shù)列的和的公式．二、教學(xué)重點(diǎn)：特殊數(shù)列求和的方法．三、教學(xué)過(guò)程：（一）主要知識(shí)：1．直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式：Sn=n(a1+an)n(n1)=na1+d 22236。na1(q=1)239。n（2）等比數(shù)列的求和公式Sn=237。a1(1q)（切記：公比含字母時(shí)一定要討論）(q185。1)239。238。1q2．公式法： 229。k2=12+22+32+k=1n+n2=n(n+1)(2n+1)62229。kk=1n3=1+2+3+333233。n(n+1)249。 +n=234。235。233．錯(cuò)位相減法：比如{an}等差,{bn}等比,求a1b1+a2b2+L+．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見拆項(xiàng)公式：1111111==()；n(n+1)nn+1n(n+2)2nn+21111=()nn!=(n+1)!n!(2n1)(2n+1)22n12n+15．分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。6．合并求和法：如求1002992+982972+L+2212的和。7．倒序相加法：8．其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2．求和過(guò)程中注意分類討論思想的運(yùn)用； 3．轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；（三）例題分析：例1．求和：①Sn=1+11+111+L+11L1 123n個(gè) ②Sn=(x+)2+(x2+1x1212n)+L+(x+)x2xn ③求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項(xiàng)和Sn 思路分析：通過(guò)分組，直接用公式求和。L1=1+10+102+L+10k=解：①ak=11123k個(gè)1k(101)911Sn=[(101)+(1021)+L+(10n1)]=[(10+102+L+10n)n]99110(10n1)10n+19n10=[n]= 9981②Sn=(x2+11142n+2)+(x++2)+L+(x++2)242nxxx111++L+)+2n x2x4x2n=(x2+x4+L+x2n)+(x2(x2n1)x2(x2n1)(x2n1)(x2n+2+1)（1）當(dāng)x185。177。1時(shí)，Sn=++2n=+2n 222n2x1x1x(x1)（2）當(dāng)x=177。1時(shí),Sn=4n ③ak=(2k1)+2k+(2k+1)+L+[(2k1)+(k1)]=k[(2k1)+(3k2)]523=kk222Sn=a1+a2+L+an=5235n(n+1)(2n+1)3n(n+1)(1+22+L+n2)(1+2+L+n)=222622=1n(n+1)(5n2)6總結(jié)：運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q=1或q185。1討論。2．錯(cuò)位相減法求和例2．已知數(shù)列1,3a,5a2,L,(2n1)an1(a185。0)，求前n項(xiàng)和。思路分析：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1，3，5，…2n1與等比數(shù)列a0,a,a2,L,an1對(duì)應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求和。解：Sn=1+3a+5a2+L+(2n1)an1aSn=a+3a2+5a3+L+(2n1)an(1) (2)(1)(2):(1a)Sn=1+2a+2a2+2a3+L+2an1(2n1)an2a(1an1)n當(dāng)a185。1時(shí),(1a)Sn=1+ (2n1)2(1a)1+a(2n+1)an+(2n1)an+1 Sn=(1a)2當(dāng)a=1時(shí),Sn=n2 2242(2n)= ++L+1335(2n1)(2n+1)思路分析::(2k)2(2k)21+11111ak===1+=1+()(2k1)(2k+1)(2k1)(2k+1)(2k1)(2k+1)22k12k+1111111112n(n+1)Sn=a1+a2+L+an=n+[(1)+()+L+()]=n+(1)=23352n12n+122n+12n+1236。n(n+1)(a=1)239。123n239。2練習(xí):求Sn=+2+3+L+n 答案: Sn=237。a(an1)n(a1)aaaa239。(a185。1)n2239。a(a1)012n例4求證：Cn+3Cn+5Cn+L+(2n+1)Cn=(n+1)2n mnm思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。=Cn012n證：令Sn=Cn+3Cn+5Cn+L+(2n+1)Cn(1)mnm(2)QCn=Cnnn1210則Sn=(2n+1)Cn+(2n1)Cn+L+5Cn+3Cn+Cn012n \(1)+(2)有:2Sn=(2n+2)Cn+(2n+2)Cn+(2n+2)Cn+L+(2n+2)Cn012n\Sn=(n+1)[Cn+Cn+Cn+L+Cn]=(n+1)2n 等式成立5．其它求和方法還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知數(shù)列{an},an=2[n(1)n],求Sn。思路分析：an=2n2(1)n，通過(guò)分組，對(duì)n分奇偶討論求和。解：an=2n+2(1)，若n=2m,則Sn=S2m=2(1+2+3+L+2m)+2n229。(1)k=12mkSn=2(1+2+3+L+2m)=(2m+1)2m=n(n+1)若n=2m1,則Sn=S2m1=S2ma2m=(2m+1)2m+2[2m(1)2m]=(2m+1)2m+2(2m1)=4m2+2m2=(n+1)2+(n+1)2=n2n2(n為正偶數(shù))236。n(n+1)\Sn=237。2nn2(n為正奇數(shù))238。預(yù)備：已知f(x)=a1x+a2x2+L+anxn,且a1,a2,a3,Lan成等差數(shù)列，n為正偶數(shù)，又f(1)=n2,f(1)=n，試比較f()與3的大小。12236。(a1+an)n=n2236。a+a=2n236。f(1)=a1+a2+a3+L+an=n239。n2解：237。 \237。\237。1nd=2238。238。f(1)=a1+a2a3+Lan1+an=n239。d=n2238。2236。a+a1+(n1)d=2n\237。1\a1=1\an=2n1d=2238。f(x)=x+3x2+5x3+L+(2n1)xn11111f()=+3()2+5()3+L+(2n1)()n2222212可求得f()=3()n2(2n1)()n，∵n為正偶數(shù)，\f()3（四）鞏固練習(xí)：1．求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：（1）5，55，555，5555，…，(10n1)，…；（2）12121259111，,1180。32180。43180。5（3）an=,1,n(n+2)；1n+n+1；（4）a,2a2,3a3，nan,；（5）1180。3,2180。4,3180。5，n(n+2),；（6）sin21+sin22+sin23+解：（1）Sn=5+55+555++sin289．n個(gè)+5555=(9+99+999+9+(10n1)]n個(gè)+999)5=[(101)+(1021)+(1031)+95=[10+102+103+9（2）∵+10nn]=50n5(101)n． 8191111=()，n(n+2)2nn+2111111[(1)+()+()+232435111111+()]=(1+)． nn+222n+1n+2∴Sn=（3）∵an=∴Sn=1n+n+1=n+1n=n+1n(n+n+1)(n+1n)+1n+1+n11++2+13+2=(21)+(32)+（4）Sn=a+2a2+3a3++(n+1n)=n+11．+nan，當(dāng)a=1時(shí)，Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)，2 當(dāng)a185。1時(shí)，Sn=a+2a
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