【正文】 歸納法是 由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納推理。根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，歸納法又可分為不完全歸納法和完全歸納法 [2]。 不完全歸納法是根據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一般結(jié)論的推理方法。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。在問(wèn)題探索中，為了尋求一般 規(guī)律，往往先考察一些特例，通過(guò)對(duì)這些特例的不完全歸納形成猜想，然后再試圖去證明或否定這種猜想。因而學(xué)會(huì)用不完全歸納法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索，對(duì)提高數(shù)學(xué)能力十分重要。不完全歸納法又可分為枚舉歸納法和因果歸納法兩類。枚舉歸納法是以某個(gè)對(duì)象的多次重復(fù)作為判斷根據(jù)的歸納方法；因果歸納法歸納法是把一類事物中部分對(duì)象的因果關(guān)系作為判斷的前提而做出一般性猜想的方法 [2]。 完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的。通常在事物包括 的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法 [2] 。 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 數(shù)學(xué)歸納法概念 數(shù)學(xué)歸納法概念 : 數(shù)學(xué)歸納法是 數(shù)學(xué)上證明與 正整數(shù) N 有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與 正整數(shù) 有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題 。 陜西科技大學(xué)畢業(yè)論文 4 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理 在了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理前，我們不妨先來(lái)回想一下小時(shí)候?qū)φ麛?shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，首先，父母叫我們數(shù) 1,后來(lái)數(shù) 2 ,有 2 必有 3 ，每一個(gè)正整數(shù)后面都有一個(gè)正整數(shù)，于是我們說(shuō)：會(huì)數(shù)數(shù)了。事實(shí)上，數(shù)學(xué)歸納法正是基于這樣一個(gè)簡(jiǎn)單原理。 數(shù)學(xué)歸納法來(lái)源于皮亞諾自然公理，自然數(shù)有以下性質(zhì)： (1)1是自然數(shù) (2)每一個(gè)確定的自然數(shù) a ,都有一個(gè)確定的隨從 39。a ， 39。a 也是自然數(shù) (3)1非隨從，即 39。1 a? (4)一個(gè)數(shù)只能是某一個(gè)數(shù)的隨從，或者根本不是隨從，即由 39。39。 ba? 一定能推得 ba? (5)任意一個(gè)自然數(shù)的集合，如果包含 1，并且假設(shè)包含 a ，也一定包含 a 的隨從 39。a ,那么這個(gè)集合包含所有的自然數(shù)。 后來(lái)因?yàn)榘?0 也作為自然數(shù)，所以公理中的 1要換成 0 。 其中的性質(zhì) (5)是數(shù)學(xué)歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學(xué)歸納法： 設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果： (1)命題當(dāng) kn? 時(shí)正確，即 1??kn 正確 (2)在假設(shè)正確的前提下 ，可以證明命題也正確，那么命題對(duì)任意正整數(shù)都是正確的。 數(shù)學(xué)歸納法的正確性驗(yàn)證是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理，能否完成對(duì)與自然數(shù)有關(guān)命題的無(wú)限次論證，即數(shù)學(xué)歸納法是否可靠，下面我將結(jié)合“正整數(shù)最小原理”，即“任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)”來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)歸納法是否正確。 命題 1：任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)。 證明：在這集合里任意取一個(gè)數(shù) n ,大于 n 的不必討論了，我們需要討論的是那些不大于 n的自然數(shù)里一定有一個(gè)最小的數(shù)。 應(yīng)用歸納法，如果 1?n ,它本身就是自然數(shù)里的最小的數(shù)，如果這集合里沒(méi)有小于 n 的自然數(shù)存在，那么 n 就是最小的，也不必討論了，如果有一個(gè) ,那么由數(shù)學(xué)歸納法的假設(shè)知道集合里不大于 m 的自然數(shù)一定有一個(gè)最小的數(shù)存在，這個(gè)數(shù)也就是原集合里最小的數(shù)，即得證。 反過(guò)來(lái)，也可以用這個(gè)性質(zhì)來(lái)推出數(shù)學(xué)歸納法。 假設(shè)對(duì)于某些自然數(shù)是不正確的，那么，一定有一個(gè)最小的自然 數(shù) kn? 使這個(gè)命題不正確，也就是，當(dāng) 1??kn 的時(shí)候，命題正確，而當(dāng) kn? 的時(shí)候，這個(gè)命題也不正確，這與歸納法的假定是矛盾的。 也許從理論上來(lái)看，我們有可能還不是很懂得數(shù)學(xué)歸納法原理的正確性，我們可以從我們生活上的例子比較直觀的理解它。 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 5 例 從袋子里摸球問(wèn)題 如果袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完而得出一個(gè)確定的結(jié)論，但是，當(dāng)東西是無(wú)窮的，怎么辦？如果有這樣一個(gè)論證：“當(dāng)你這一次摸 出紅玻璃球的時(shí)候，下一次摸出的，也一定是紅玻璃球”，那么，在這樣的保證下，只要第一次摸出的確定是紅玻璃球，就可以不再檢查地作出正確的結(jié)論：“袋里的東西，全部是紅玻璃球”。 上面的道理采用形式上的講法，也就是：有一批編了號(hào)碼的數(shù)學(xué)命題，能夠證明第 1號(hào)命題正確，如果能夠證明在第 k 號(hào)命題正確的時(shí)候，第 1?k 號(hào)命題也正確，那么，這一批命題就全部正確。 數(shù)學(xué)歸納法的 其它形式 數(shù)學(xué)歸納法原理本質(zhì)上來(lái)看由兩個(gè)重要步驟構(gòu)成，首先是奠基步，這往往比較容易，但卻是必須的，然后需要一個(gè)一般意義的演繹規(guī)則，按照這個(gè)演繹規(guī)則，反復(fù)應(yīng)用，從奠基步開始，在有限步之內(nèi)達(dá)到任意指定的情形，通常，這個(gè)一般的演繹規(guī)則是從所謂的歸納法假設(shè)開始，從較少規(guī)模成立的假設(shè)推導(dǎo)出較大規(guī)模的情形成立，從而建立一個(gè)一般的演繹規(guī)則，因此，從這一本質(zhì)出發(fā)，數(shù)學(xué)歸納法可演繹出豐富的“變著”，概括起來(lái)有兩個(gè)方面：一是奠基點(diǎn)的前提或后推，增多或減少：二是遞推跨度和遞推途徑的變通，而正是因?yàn)槭恰白冎钡亩鄻有院蛻?yīng)用技巧的靈 活性，才使數(shù)學(xué)歸納法顯示出廣泛的應(yīng)用性。 (1)不一定從 1開始，也就是數(shù)學(xué)歸納法里的兩句話，可以改成：如果當(dāng) 0kn? 的時(shí)候，這個(gè)命題是正確的，又從假設(shè)當(dāng) )( 0kkkn ?? 時(shí)，這個(gè)命題是正確的，可以推出當(dāng) 1??kn時(shí)，這個(gè)命題也是正確的，那么這個(gè)命題 0kn? 時(shí)都正確。這是第一數(shù)學(xué)歸納法的“變著”，也叫做跳躍數(shù)學(xué)歸納法。 例 求證： n 邊形 n 個(gè)內(nèi)角的和等于 ?)2( ?n ，（ 3?n ）。 證明：當(dāng) 3?n 時(shí)，我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和是 ? ，所以當(dāng) 3?n 時(shí)，命題是正確的，假設(shè)當(dāng) )3( ?? kkn 時(shí)命題也是正確的，設(shè) 121 , ?kAAA ? 是 1?k 邊形的頂點(diǎn)，做線段 kAA1 ，它把這個(gè) 1?k 邊形分成兩個(gè)圖形，一個(gè)是 k 邊形 kAAA ?21 ,另一個(gè)是三角形 11AAA kk ? ,并且 1?k 邊形內(nèi)角的和等于后面兩個(gè)圖形的內(nèi)角和的和，就是 ? ????? 2)1()1()2( ??????? kkk )12( ? 也就是說(shuō)，當(dāng) 1??kn 時(shí)這個(gè)命題也是正確的，因此，定理得證。 第二句話也可以改為“如果當(dāng) n 適合于 kn??1 時(shí)命題正確，那么當(dāng) 1??kn 時(shí)，命題也正確”，由此同樣可以證明對(duì)于所有命題都正確。這種屬于第二數(shù)學(xué)歸納法的“變著”。 例 我們知道，對(duì)于任意自然數(shù) n ，有 211 3 )(?? ?? nni ii,反之，若 0?na ，且2131 )(?? ?? n ini i aa ,有 nan? 成立嗎？ 證明：當(dāng) 1?n 時(shí)，由 2131 aa ? 及 01?a ,得 11?a 。命題成立。 陜西科技大學(xué)畢業(yè)論文 6 假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)，命題成立，即 iai ? ， ki ?,2,1? 當(dāng) 1??kn 時(shí)，因?yàn)? 312131311 )( ????? ??? ??? kki ikk iki i aaaa )22( ? 又 21 1211311 )()( ??? ? ????? ??? ki kiki iki i aaaa 21 1121 2)( ?? ? ??? ??? ki kikki i aaaa )32( ? 于是 21 1131 2 ? ? ??? ?? ki kikk aaaa )42( ? 因?yàn)?kiia i ?,2,1, ?? 所以 ?? ??ki i kka1 2 )1( 又因?yàn)?01 ??ka ,故 0)1(121 ???? ?? kkaa kk )52( ? 解得 11 ??? kak 或 )(1 舍去kak ??? 所以 1??kn 時(shí)命題也成立，從而對(duì)任意自然數(shù) n ，命題成立。 (3)設(shè) )(np 是關(guān)于自然數(shù) N 的命題，若 )(np 對(duì)無(wú)限多個(gè)自然數(shù)成立；假設(shè) )1( ?kp 成立可推出 )(kp 成立，則命題一切自然數(shù) n 都成立。 總之，數(shù)學(xué)歸納法原理還隱含著許多“變著”，這便使得數(shù)學(xué)歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實(shí)的數(shù)學(xué)歸納法，如蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法，雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法。 3 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 在高中階段，我們把數(shù)學(xué)歸納法的步驟分為三步，但是從實(shí)質(zhì)上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)歸納法也可以分為兩個(gè)步驟： 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 7 （ 1）當(dāng) 1?n 時(shí)，這個(gè)命題是正確的， （ 2）假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)，這個(gè)命題是正確的， （ 3）證明當(dāng) 1??kn 時(shí)，這個(gè)命題也是正確的。 從而推出這個(gè)命題在 1?n 自然數(shù)中都是成立的。 例 對(duì)任意正自然數(shù) n ，有 2)12(531 nn ?????? ? 。 證明： (1)當(dāng) 1?n 時(shí)， 1?左 ， 1?右 ，所以等式成立。 (2)假設(shè)當(dāng) kn? 時(shí)，等式也成立，則有 2)12(531 kk ????? ? (3)當(dāng) 1??kn 時(shí)， )12()12(531 ??????? kk? 122 ??? kk 2)1( ?? k )13(? 1??? kn 時(shí)，等式也成立 綜上所述，等式對(duì)一切正自然數(shù) n 都成立。 三個(gè)步驟缺一不可 在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，重點(diǎn)在于如何利用假設(shè) kn? 時(shí)命題的結(jié)論來(lái)推出 1??kn 時(shí)命題也成立，因?yàn)橹暗膬刹肯喈?dāng)于第三步而言比較簡(jiǎn)單，因此，學(xué)生做題時(shí)往往會(huì)在第三步感到困難，然 而，即使學(xué)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練，能夠一步不漏正確的做下來(lái)，學(xué)生多半仍處于知其然不知所以然的處境，有不少學(xué)生心中疑問(wèn)：為什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不是是代個(gè)最簡(jiǎn)單的數(shù)字進(jìn)去看看命題對(duì)不對(duì)，這一步會(huì)有多少作用，為什么非要不可。并且用 kn? 的假設(shè)命題去推 1??kn 的必要性。 以上問(wèn)題都涉及到數(shù)學(xué)歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法的巧妙之處。其實(shí)，數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟有著十分密切的關(guān)系，三個(gè)步驟缺一不可。下面用例題來(lái)說(shuō)明： 例 證明： 所有的正整數(shù)都相等。 這個(gè)命題顯然是荒謬的，但是如果我們丟開“當(dāng) 1?k 的時(shí)候，這個(gè)命題是正確的”不管，那么可以用“數(shù)學(xué)歸納法”來(lái)“證明”它。 這里，第 k 號(hào)命題是：“第 1?k 個(gè)正整數(shù)等于第 k 個(gè)正整數(shù)”，就是 kk ??1 兩邊都加上 1，就得 1??kk 這就是說(shuō)，第 k 個(gè)正整數(shù)等于第 1?k 個(gè)正整數(shù)，這不是說(shuō)明了所有的正整數(shù)都相等了嗎？ 錯(cuò)誤就在于，我們沒(méi)有考慮 1?k 的情況。 例 724912 ??nn 在正自然數(shù)上都是素?cái)?shù)。 陜西科技大學(xué)畢業(yè)論文 8 分析：當(dāng) 11000,3,2,1 ??n 的時(shí)候，式子 724912 ??nn 的值都是素?cái)?shù) ,即使 如此，我們還不能確立是任何正整數(shù)的時(shí)候，這個(gè)式子的值都是素?cái)?shù)，事實(shí)上，只要 72490?n 的時(shí)候它的值就不是素?cái)?shù)。 這也就是說(shuō)，即使我們?cè)嚵?11000次，式子 724912 ??nn 的值都是素?cái)?shù)，我們?nèi)耘f不能斷定這個(gè)命題一般的正確性。 這就足夠說(shuō)明了 1?n 是遞推的基礎(chǔ) ,二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過(guò)程，它解決了從特殊值 0nn? 到一般 0nn? 的過(guò)渡。這三個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可。如果只有奠基步驟，而無(wú)歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無(wú)奠基步驟，那么歸納步驟的假設(shè)就失去了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。 所以，用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應(yīng)用假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的，就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題大概 有兩種類型： )1( 能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來(lái)證明的，證明這類問(wèn)題時(shí)，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項(xiàng)，通過(guò)適當(dāng)變換完成證明，對(duì)于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中比較常見。 )2( 不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來(lái)證明的，這類命題解題時(shí)，一般通過(guò)下面的兩種途徑為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件 ,先將 1??kn 代入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而得到結(jié)論；利用其它數(shù)學(xué)知識(shí)，建立 )(kp 與 )1(?kp 的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立，對(duì)于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的概率也是很大的。淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 9 4 數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種極為有效的方法，它在證明中的應(yīng)用是十分廣