數(shù)學(xué)歸納法證明不等式知識(shí)歸納課件人教a選修-文庫吧
2024-12-31 08:47 本頁面
【正文】 12] 內(nèi)單調(diào)遞增，所以 xk＋1＝ f ( xk)＜ f ( c ) ＝ c ，這就是說當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，結(jié)論也成立． 故 xn＜ c 對(duì)任意 n ≥ 1 成立． 因此， xn＋1＝ xn－ x2n＋ c ＞ xn，即 { xn} 是遞增數(shù)列． 由 (i )( i i ) 知，使得數(shù)列 { xn} 單調(diào)遞增的 c 的范圍是 (0 ，14] ． 2 ． ( 2022 湖北高考 ) ( 1) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ rx － xr＋ (1 － r )( x ＞ 0) ，其中 r 為有理數(shù)，且 0 ＜ r ＜ 1. 求 f ( x ) 的最小值； ( 2) 試用 ( 1) 的結(jié)果證明如下命題： 設(shè) a1≥ 0 ， a2≥ 0 ， b1， b2為正有理數(shù)．若 b1＋ b2＝ 1 ，則 a1b 1 a2b 2 ≤ a1b1＋ a2b2； ( 3) 請將 ( 2) 中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證 明你所推廣的命題． 注： 當(dāng) α 為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式 ( xα) ′ ＝ αxα － 1. 解： ( 1) f ′ ( x ) ＝ r － rxr － 1＝ r (1 － xr － 1) ，令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，解得 x＝ 1. 當(dāng) 0 ＜ x ＜ 1 時(shí)， f ′ ( x ) ＜ 0 ，所以 f ( x ) 在 ( 0,1) 內(nèi)是減函數(shù)； 當(dāng) x ＞ 1 時(shí)， f ′ ( x ) ＞ 0 ，所以 f ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 內(nèi)是增函數(shù)． 故函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ 1 處取得最小值 f ( 1) ＝ 0. ( 2) 由 ( 1) 知，當(dāng) x ∈ (0 ，＋ ∞ ) 時(shí)，有 f ( x ) ≥ f ( 1) ＝ 0 ，即 xr≤ rx＋ (1 － r ) ， ① 若 a1， a2中至少有一個(gè)為 0 ，則11ba22ba≤ a1b1＋ a2b2成立； 若 a1， a2均不為 0 ，又 b1＋ b2＝ 1 ，可得 b2＝ 1 － b1，于是 在 ① 中令 x ＝a1a2， r ＝ b1，可得 (a1a2) b 1 ≤ b1a1a2＋ (1 － b1) ， 即11ba112ba? ≤ a1b1＋ a2(1 － b1) ，亦即11ba22ba≤ a1b1＋ a2b2. 綜上，對(duì) a1≥ 0 ， a2≥ 0 ， b1， b2為正有理數(shù)且 b1＋ b2＝ 1 ，總有11ba22ba≤ a1b1＋ a2b2. ② ( 3) ( 2) 中命題的推廣形式為 設(shè) a1， a2， … ， an為非負(fù)實(shí)數(shù)， b1， b2， … ，
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