高二數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例(文件)
【正文】 ?.2413)22)(12( 12413)22 112 1(2413 ?????????? kkkk即當(dāng) n=k+1時(shí) ,不等式也成立 . 由 (1)、 (2)原不等式對(duì)一切 都成立 . 2, ?? nNn練習(xí)求證：當(dāng) n?2,n?N時(shí) ， 109312111 ?????? nnn ?證明： 當(dāng) n=2時(shí)， 109605761514131 ??????左∴ n=2時(shí)原不等式成立 假設(shè) n=k (k?2)時(shí)不等式成立，即 109312111 ?????? kkk ?當(dāng) n=k+1時(shí) 1)(313121??????? kkk ?左11331231131)3131211k1(???????????????? kkkkkkk ?1k133k123k113k1109????????111)3(11)(311)3(1109????????? kkkk例 證明不等式 : *1 1 11 2 ( ) .23 n n Nn? ? ? ?? ? ?證 :(1)當(dāng) n=1時(shí) ,左邊 =1,右邊 =2, 不等式顯然成立 . (2)假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)不等式成立 ,即有 : ,2131211 kk ??????1 1 1 1 1n k 1 , 1 2 ,2 3 1 1kk k k? ? ? ? ? ?? ? ? ???則 當(dāng) 時(shí)? ? ? ?2 1 1 11 2 1 .11kk kk kkk?? ? ? ?? ? ? ?.1211131211: ????????? kkk故即當(dāng) n=k+1時(shí) ,不等式也成立 . 根據(jù) (1)、 (2)可知 ,原不等式對(duì)一切正整數(shù)都 成立 . 例 求證 : 2 2 21 1 1 11 2 ( , 2) .23 n N nnn?? ? ? ?? ? ? ? ?證 :(1)當(dāng) n=2時(shí) ,左邊 = ,右邊 = , 由 故不等式成立 . 452112 ??32 ,2345 ?(2)假設(shè) n=k( )時(shí)命題成立 ,即 ,2k N k???.12131211 222 kk ???????2 2 2 2 21 1 1 1 1 1n k 1 , 1 22 3 ( 1 ) ( 1 )k k k k? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???則 當(dāng) 時(shí)即當(dāng) n=k+1時(shí) ,命題成立 . 由 (1)、 (2)原不等式對(duì)一切 都成立 . 2, ?? nNn112( 1 )k k k? ? ? ??1 1
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