高二數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用(文件)
【正文】 2＝ 0， 即 16k－ 16(2k－ 1)－ 2 64＝ 0， ∴ k＝－ 7. 解析： (1)方法一： b＋ c＝ (cos β－ 1， sin β)， 則 |b＋ c|2＝ (cos β－ 1)2＋ sin2β＝ 2(1－ cos β)， ∵ － 1≤cos β≤1， ∴ 0≤|b＋ c|2≤4，即 0≤|b＋ c|≤2. 當 cos β＝－ 1時，有 |b＋ c|＝ 2， ∴ 向量 b＋ c的長度的最大值為 2. 方法二： ∵ |b|＝ 1， |c|＝ 1， |b＋ c|≤|b|＋ |c|＝ 2， 當 cos β＝－ 1時，有 b＋ c＝ (－ 2,0)，即 |b＋ c|＝ 2， ∴ b＋ c的長度的最大值為 2. 變式 21 (2020湖北 )已知向量 a=(cos a， sin a)， b=(cos b， sin b)， c=(1,0)． (1)求向量 b+c的長度的最大值； (2)設(shè) ， 且 a⊥ (b+c)，求 cos b的值． 4???(2)方法一：由已知可得 b＋ c＝ (cosβ－ 1， sinβ)， a(b＋ c)＝ b＝ a2. 而 |a＋ b|2＝ |a|2＋ 2a . 123 ，所以 θ＝ 30176。b＝ |a||b|cos 45176。b0. 把 a ， 所以 BC BA1c os C= 2B C B A B C B A? 正解： 與的夾角為 180176。 b)2=a2177。 ， 所以 . BC CA與1c o s C= 2B C B A B C B A?9 9 3 2??【 例 2】 設(shè) e e2是夾角為 45176。 1， 所以 λ∈ ． 23 2 32? ? ?11 856?? 11 856??1 1 8 5 1 1 8 5( , ) ( , 1 ) ( 1 , )66? ? ? ?? ? ? ?題型四 向量在幾何中的應(yīng)用 【 例 4】 已知等腰直角三角形 AOB中， AC、 BD 為兩直角邊上的中線，求 AC、 BD相交所形成的 鈍角的余弦值 . 分析： 角的計算，可歸結(jié)為兩個向量的夾角的計算． 本題適當建立坐標系后，正確地寫出相關(guān)點 的坐標及向量的坐標，即可通過運算求解 . 解析：如圖，分別以等腰直角三角形 AOB的兩直角邊 為 x軸、 y軸建立直角坐標系，設(shè) A(2a,0)， B(0,2a)，則 D(a,0)， C(0， a)(a＞ 0 )， ∴ ＝ (－ 2a， a)， ＝ (a，－ 2a)． ∵ AC、 BD相交形成的鈍角即為 與 的夾角 θ， ∴ cosθ 即 AC、 BD相交形成的鈍角的余弦值為－ . AC BDAC BD22(λa＋ b)0， 即 a 32| || | 23 | |?????aaa aba ab a2變式 31 已知 |a|= ， |b|=3， a和 b的夾角為 45176。b＋ b2， 所以 x12＋ y12＝ x22＋ y22＝ x12＋ y12＋ x22＋ y22－ 2x1x2－ 2y1y2， 即 x1x2＋ y1y2＝ (x＋ y)， 所以 |a＋ b|2＝ (x1＋ x2)2＋ (y1＋ y2)2＝ x12＋ y12＋ x22＋ y22+2x1x2+2y1y2 ＝ 3(x12＋ y12)， 故 |a＋ b|＝ .設(shè) a與 a＋ b的夾角為 θ， 則 cosθ＝ ， 由于 0176。 ≤θ≤180176。(b＋ c)＝ 0，即 cos β＋ sin β＝ 1， ∴ sin β＝ 1－ cos β，平方后化簡得 cos β(cos β－
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