高二數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用(已修改)
2024-11-28 16:44 本頁面
【正文】 第三 節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)梳理 (1)定義 已知兩個(gè) 向量 a和 b,作 =a, =b,則∠ AOB=θ叫做向量 a與 b的夾角 . (2)范圍 向量夾角 θ的取值范圍是 ,a與 b同向時(shí) ,夾角 θ= 。a與 b反向時(shí) ,夾角 θ= . (3)向量垂直 如果向量 a與 b的夾角 θ= , 則 a與 b垂直 ,記作 . OA OBa⊥ b 非零 0176。 ≤θ≤180176。 0176。 180176。 90176。 2. 平面向量的數(shù)量積 (1)平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量 a和 b,它們的夾角為 θ,我們把數(shù)量 叫做 a和 b的數(shù)量積 (或內(nèi)積 ),記作 ab,即ab= ,并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 . (2)一向量在另一向量方向上的投影 ①定義 設(shè) θ是 a和 b的夾角 ,則 叫做 a在 b的方向上的投影 ,|b|cos θ叫做 的投影 .b在 a的方向上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù) ,而不是向量 ,當(dāng) 0176。 ≤θ90176。 時(shí) ,它是 ,當(dāng) 90176。 θ≤180176。 時(shí) ,它是 ,當(dāng) θ=90176。時(shí) ,它是 . ② ab的幾何意義 數(shù)量積 ab等于 a的長度 |a|與 的投影 |b|cos θ的乘積 . b在 a方向上 |a||b|cos θ 0 |a||b|cos θ |a|cos θ b在 a方向上 正數(shù) 負(fù)數(shù) 0 3. 向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè) a,b都是非零向量 ,e是與 b方向相同的單位向量 ,θ是 a與 e的夾角 ,則 (1)ea=ae= . (2)a⊥ b ab= . (3)當(dāng) a與 b同向時(shí) ,ab= 。 當(dāng) a與 b反向時(shí) ,ab= . 特別地 :aa=a2=|a|2或 |a|= . (4)|ab| |a||b|. (5)cos α= (α是 a與 b的夾角 ). ?aa≤ |a|cos θ 0 |a||b| － |a||b| | || |abab4. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab= (交換律 )。 (2)(λa)b= = (數(shù)乘結(jié)合律 )。 (3)(a+b)c= (分配律 ). 5. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)ab= . (2)|a|= , |b|= . (3)a⊥ b . (4)若 a與 b夾角為 θ,則 cos θ= . (5)若 c的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (x1,y1),(x2,y2), 則 |c|= . ?ac＋ bc ba λ(ab) a( λb) x1x2＋ y1y2 x1x2＋ y1y2＝ 0 2211xy? 22xy?
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