【正文】 0B????? ???? | | | | 1A B E? ? ? ，而 | | | | 0AB??， 故 | | | | | |A B A B? ? ? 不成立 ． 5. n 階矩陣 A ， B ， 且 2AE? ， 2BE? ，未必有 2()AB E? ． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 4 例 當(dāng) 2n? 時，取 1021A ????????， 1031B ???????? 有 2AE? ， 2BE? ， 1011AB ???????? 但是 2 10() 21A B E?????????． 對稱陣 中的反例 1. 對稱陣之和仍為對稱陣，對稱陣之積未必是對稱陣。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式注明并表示感謝。 本人愿意按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版， 同意學(xué)校保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，或采用影印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存設(shè)計（論文）；同意學(xué)校在不以營利為目的的前提下，建立目錄檢索與閱覽服務(wù)系統(tǒng)，公布設(shè)計（論文）的部分或全部內(nèi)容，允許他人依法合理使用。 首先，我要特別感謝我的知道郭謙功老師對我的悉心指導(dǎo)，在我的論文書寫及設(shè)計過程中給了我大量的幫助和指導(dǎo)，為我理清了設(shè)計思路和操作方法，并對我所做的課題提出了有效的改進(jìn)方案。從這里走出，對我的人生來說，將是踏上一個新的征程，要把所學(xué)的知識應(yīng)用到實際工作中去。老師們認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我收益匪淺。 最后，我要特別感謝 我的導(dǎo)師趙達(dá)睿 老師、 和研究生助教熊偉麗 老師。 最后，我要感謝我的父母對我的關(guān)系和理解，如果沒有他們在我的學(xué)習(xí)生涯中的 無私奉獻(xiàn)和默默支持，我將無法順利完成今天的學(xué)業(yè)。這期間凝聚了很多人的心血，在此我表示由衷的感謝。 本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 學(xué)生（簽名）： 年 月 日 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 31 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作所取得的成果。 涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。對本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個人或集 體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。 例 1221A ???????， 1112B ??????? 則 3534AB ???????， AB 不是對稱陣 ． 2. 實對稱陣和對角陣相似，但和對角陣相似的未必對稱 ． 例 取 1002A ???????， 11 202B ???????? 2103T ???????， 11126103T ??????????? 有 1B T AT?? ，即 A 與 B 相似， A 是對角陣，而 B 不是對稱陣 ． 3. 反對稱矩陣 是指滿足條件 AA??? 的矩陣 ，那么反對稱矩陣 之積未必是反 對稱矩陣 ． 例 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 5 0 0aA a ????????， 0 0bB b???????? 均為反對稱矩陣 ． 而 00abAB ab???????， 當(dāng) 0a? ， 0b? 時， AB 是對稱陣，但不是反對稱矩陣 ． 正定陣 中的反例 1. 正定陣的和還是正定陣，但正定陣的差未必是正定陣 ． 例 1102A ???????， 1012B ???????? 都是正定陣，但 0110AB ???????? 不是正定陣 ． 2. 正定陣的積未必是正定陣 ． 例 1225A ???????， 1102B ???????? 都是正定陣 ． 而 1318AB ???????? 不是正定陣 ． 3. A 是正定陣，則 A 的主對角線上元素都大于零 ． 但反之不真 ． 例 1232A ???????， 1324B ??????? 都不是正定陣 ． 正交陣 中的反例 正交陣 [2]是 指 滿足條件 AA E? ? 的 n 階實數(shù)矩陣 A ． 1. 我們知道正交陣之積仍為正交陣，那么正交陣之和是不是正交陣 ？ 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 6 例 以下兩個 n 階矩陣 1111A??????????，1111B?????????? 都是正交矩陣，因為 AA E? ? ， BB E? ? ，但 0022AB?????????? 而 00( ) ( ) 44A B A B E???????? ? ? ????? 所以正交陣的和不一定是正交陣 ． 2. 若 A 是正交陣，則 | | 1A?? ，但反之不真 ． 例 2111A ???????， 1211B ?????????， 而 | | 1A? ， | | 1B?? 5332A A E??? ??????， 2335B B E???? ??????? A ， B 都不是正交陣 ． 等價矩陣、合同矩陣、相似矩陣 定義 設(shè) ,AB是數(shù)域 P 上兩個 n 級矩陣，如果可以找到數(shù)域 P 上的 n 級可逆矩陣 X ，使得 1B X AX?? ，就說 A 相似于 B ． 定義 矩陣 A 與 B 稱 為等價的，如果 B 可以由 A 經(jīng)過一系列初等變換得到 ． 定義 數(shù)域 P 上 nn? 矩陣 A ， B 成為合同的，如果有數(shù)域 P 上可逆的 nn? 矩反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 7 陣 C ，使 B CAC?? ． 1. 合同矩陣一定是等價矩陣，但反之不真 ． 例 取 1 0 1 1,0 1 0 1AB? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? A 與 B 等價，因為 1 0 1 10 1 0 1BA? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 假設(shè) A 與 B 合同，即存在 可逆矩陣 C ，使得 B CAC?? ． 設(shè) abC cd???????， 則 acC bd????????， 故 22221001a c a b a c a b a c a b c dC A C b d c d b d c d a b c d b d????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 則 1ab cd??， 0ab cd??（ 矛盾 ） ， 故不存在可逆陣 C ，則 A 與 B 不是合同 的 ． 2. 相似矩陣一等是等價矩陣，但反之不真 ． 例 仍取 1 0 1 1,0 1 0 1AB? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 則 A 與 B 等價 ． 若 A 與 B 相似，則存在可逆陣 T ，使得 1B T AT?? ， 又 11T A T T T E B??? ? ?，故 A與 B 不相 似 ． 3. 相似矩陣未必合同 ． 例 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 8 2110A ????????， 1101B ???????， 則取 1112T ?????????， 1 2111T? ???????， 可得 1B T AT?? ，即 A 與 B 相似 ． 假設(shè) A 與 B 合同，設(shè) abCcd??????? 則 2221 2210 22a c a b a a b b c a dB C A C b d c d a b a d b c b?? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? 那么 221a? ； 221b? ； 21ab bc ad? ? ?； 20ab ad bc? ? ? 整理得， 12ab?? ； 14ab? （ 矛盾 ） ， 故 A 與 B 不合同 ． 4. 合同矩陣未必相似 ． 例 取 3 2 12 2 1110B???????， 1 0 00 1 00 0 1A??????? 1 0 0 1 0 01 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1BA?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 故 A 與 B 合同 ． 又 11T A T T T E B??? ? ?，則 A 與 不相似 ． 5. A 可逆，則有 AB 與 BA 相似，但反之不真 ． 例 1001A ???????， 2020B ??????? 顯然，有 AB 與 BA 相似，而 A 不存在逆矩陣 ． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 9 多項式 中的反例 多項式是代數(shù)學(xué)中最基本的對象之一，在進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)科目時也能遇到，本章主要討論數(shù)域 P 上的一元多項式，并舉出有關(guān)反例 ． 1． 定理 如果 ( ) ( ), 1, 2 , ,if x g x i n?，那么 )(xf 就能整 )(,),(),( 21 xgxgxg n? 的組合，即 ))()()()()()(()( 2211 xgxuxgxuxgxuxf nn??? ?． 反之不真 ． 即能整除 )(,),(),( 21 xgxgxg n? 的組合，未必 ??fx能整除每一個 ??gx． 例 令 ( ) 1f x x?? 而 21( ) 1g x x?? ， 2( ) 1g x x?? 1( ) 1ux?? ， 2()u x x? 顯然 1 1 2 2( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )f x u x g x u x g x?， 但 ( ) | ( )if x g x ． 定義 數(shù)域 P 上次數(shù) 1? 的多項式 ()px 稱為域 P 上的不可約多項式，如果它不能表示成數(shù)域 P 上的兩個次數(shù)比 ()px 的次數(shù)低的多項式的乘積 ． 2． 不可約多項式 ( ) ( ) ( )p x f x g x ，則有 ( ) ( )p x f x 或 ( ) ( )p x g x ． ()px 是不可約多項式的限制是有必要的，否則即可舉出反例： 例 令 2( ) , ( ) , ( ) 1p x x x f x x g x x? ? ? ? ? 顯然有 ( ) ( ) ( )p x f x g x 但 ( ) | ( )p x f x ， ( ) | ( )p x g x ． 定義 不可約多項式 ()px 稱為多項式 ()fx的 k 重因式，如果 ( ) ( )kp x f x ，而1( ) | ( )kp x f x? ()px ． 3． 若不可約多項式 ()px 是 ()fx的 k 重因式（ 1k? ），則 ()px 是 ()fx? 的 1k? 重因反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 10 式 ． 反之不真 ． 例 令 32( ) 3 3 1f x x x x? ? ? ? 則 2( ) 3 6 3f x x x? ? ? ? 1x? 是 ()fx? 的 2 重因式，但 1x? 不是 ()fx的 3 重 因式，事實， 1x? 就不是 ()fx的重因式 ． 定義 如果一個非零的整系數(shù)多項式 110() nnnng x b x b x b??? ? ? ?的系數(shù)10, , ,nnb b b? 沒有異于 1? 的公因子，也就是說，它們是互素的，它就稱為一個本原多項式 ． 4． 本原多項式不一定是不可約的 ． 例 2 32xx??是本原多項式，但 2 3 2 ( 2) ( 1 )x x x x? ? ? ? ?,是可約的 ． 5． 設(shè) ()fx， ()gx 是整系數(shù)多項式，且 ()gx 是本原的，若 ( ) ( ) ( )f x u x g x? ，其中()ux 是有理系數(shù)多項式，則 ()ux 一定是整系數(shù)的 ． 我們說， ()gx 限制為本原的條件不可少，否則 ()ux 就可能有不是整系數(shù)的 ． 例 取 2()f x x x??， ( ) 2 2g x x?? 而 ( ) ( ) ( )f x u x g x? 那么 1()2u x x? ． 6． 愛森斯坦判別法 ：當(dāng) 110() nnnnf x a x a x a??? ? ? ?是一個整系數(shù)多項式，存在一個素數(shù) p 使得 ?。?| npa。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 （保密論文在解密后遵守此規(guī)定） 作者簽名 :