【正文】 他無論在理論上還是在實踐中，都給與我很大的幫助，使我得到不少的提高這對于我以后的工作和學(xué)習(xí)都有一種巨大的幫助，感謝 他 耐心的輔導(dǎo)。 在我的十幾年求學(xué)歷程里，離不開父母的鼓勵和支持，是他們辛勤的勞作，無私的付出，為我創(chuàng)造良好的 學(xué)習(xí)條件，我才能順利完成完成學(xué)業(yè)，感激他們一直以來對我的撫養(yǎng)與培育。 回首四年，取得了些許成績，生活中有快樂也有艱辛。 另外，我還要感謝大學(xué)四年和我一起走過的同學(xué)朋友對我的關(guān)心與支持，與他們一起學(xué)習(xí)、生活，讓我在大學(xué)期間生活的很充實，給我留下了很多難忘的回憶。郭謙功老師淵博的知識、嚴(yán)謹(jǐn) 的作風(fēng)和誨人不倦的態(tài)度給我留下了深刻的印象。經(jīng)過這次畢業(yè)設(shè)計，我的能力有了很大的提高，比如操作能力、分析問題的能力、合作精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)等方方面面都有很大的進步。 （保密論文在解密后遵守此規(guī)定） 作者簽名 : 二〇 一 〇年 九 月 二十 日 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 33 致 謝 時間飛逝， 大學(xué) 的學(xué)習(xí)生活很快就要過去，在這 四年 的學(xué)習(xí)生活中，收獲了很多，而這些成績的取得是和一直關(guān)心幫助我的人分不開的。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 所撰寫的畢業(yè)論文或畢業(yè)設(shè)計是在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下自主完成，文中所有引文或引用數(shù)據(jù)、圖表均注解并說明來源，本人愿意為由此引起的后果承擔(dān)責(zé)任。 例 1221A ???????， 1112B ??????? 則 3534AB ???????， AB 不是對稱陣 ． 2. 實對稱陣和對角陣相似，但和對角陣相似的未必對稱 ． 例 取 1002A ???????， 11 202B ???????? 2103T ???????， 11126103T ??????????? 有 1B T AT?? ，即 A 與 B 相似， A 是對角陣，而 B 不是對稱陣 ． 3. 反對稱矩陣 是指滿足條件 AA??? 的矩陣 ，那么反對稱矩陣 之積未必是反 對稱矩陣 ． 例 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 5 0 0aA a ????????， 0 0bB b???????? 均為反對稱矩陣 ． 而 00abAB ab???????， 當(dāng) 0a? ， 0b? 時， AB 是對稱陣，但不是反對稱矩陣 ． 正定陣 中的反例 1. 正定陣的和還是正定陣，但正定陣的差未必是正定陣 ． 例 1102A ???????， 1012B ???????? 都是正定陣，但 0110AB ???????? 不是正定陣 ． 2. 正定陣的積未必是正定陣 ． 例 1225A ???????， 1102B ???????? 都是正定陣 ． 而 1318AB ???????? 不是正定陣 ． 3. A 是正定陣，則 A 的主對角線上元素都大于零 ． 但反之不真 ． 例 1232A ???????， 1324B ??????? 都不是正定陣 ． 正交陣 中的反例 正交陣 [2]是 指 滿足條件 AA E? ? 的 n 階實數(shù)矩陣 A ． 1. 我們知道正交陣之積仍為正交陣，那么正交陣之和是不是正交陣 ？ 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 6 例 以下兩個 n 階矩陣 1111A??????????，1111B?????????? 都是正交矩陣，因為 AA E? ? ， BB E? ? ，但 0022AB?????????? 而 00( ) ( ) 44A B A B E???????? ? ? ????? 所以正交陣的和不一定是正交陣 ． 2. 若 A 是正交陣，則 | | 1A?? ，但反之不真 ． 例 2111A ???????， 1211B ?????????， 而 | | 1A? ， | | 1B?? 5332A A E??? ??????， 2335B B E???? ??????? A ， B 都不是正交陣 ． 等價矩陣、合同矩陣、相似矩陣 定義 設(shè) ,AB是數(shù)域 P 上兩個 n 級矩陣，如果可以找到數(shù)域 P 上的 n 級可逆矩陣 X ，使得 1B X AX?? ，就說 A 相似于 B ． 定義 矩陣 A 與 B 稱 為等價的，如果 B 可以由 A 經(jīng)過一系列初等變換得到 ． 定義 數(shù)域 P 上 nn? 矩陣 A ， B 成為合同的，如果有數(shù)域 P 上可逆的 nn? 矩反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 7 陣 C ，使 B CAC?? ． 1. 合同矩陣一定是等價矩陣，但反之不真 ． 例 取 1 0 1 1,0 1 0 1AB? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? A 與 B 等價，因為 1 0 1 10 1 0 1BA? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 假設(shè) A 與 B 合同，即存在 可逆矩陣 C ，使得 B CAC?? ． 設(shè) abC cd???????， 則 acC bd????????， 故 22221001a c a b a c a b a c a b c dC A C b d c d b d c d a b c d b d????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 則 1ab cd??， 0ab cd??（ 矛盾 ） ， 故不存在可逆陣 C ，則 A 與 B 不是合同 的 ． 2. 相似矩陣一等是等價矩陣，但反之不真 ． 例 仍取 1 0 1 1,0 1 0 1AB? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 則 A 與 B 等價 ． 若 A 與 B 相似，則存在可逆陣 T ，使得 1B T AT?? ， 又 11T A T T T E B??? ? ?，故 A與 B 不相 似 ． 3. 相似矩陣未必合同 ． 例 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 8 2110A ????????， 1101B ???????， 則取 1112T ?????????， 1 2111T? ???????， 可得 1B T AT?? ，即 A 與 B 相似 ． 假設(shè) A 與 B 合同，設(shè) abCcd??????? 則 2221 2210 22a c a b a a b b c a dB C A C b d c d a b a d b c b?? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? 那么 221a? ； 221b? ； 21ab bc ad? ? ?； 20ab ad bc? ? ? 整理得， 12ab?? ； 14ab? （ 矛盾 ） ， 故 A 與 B 不合同 ． 4. 合同矩陣未必相似 ． 例 取 3 2 12 2 1110B???????， 1 0 00 1 00 0 1A??????? 1 0 0 1 0 01 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1BA?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 故 A 與 B 合同 ． 又 11T A T T T E B??? ? ?，則 A 與 不相似 ． 5. A 可逆，則有 AB 與 BA 相似，但反之不真 ． 例 1001A ???????， 2020B ??????? 顯然，有 AB 與 BA 相似，而 A 不存在逆矩陣 ． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 9 多項式 中的反例 多項式是代數(shù)學(xué)中最基本的對象之一，在進一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)科目時也能遇到，本章主要討論數(shù)域 P 上的一元多項式，并舉出有關(guān)反例 ． 1． 定理 如果 ( ) ( ), 1, 2 , ,if x g x i n?，那么 )(xf 就能整 )(,),(),( 21 xgxgxg n? 的組合，即 ))()()()()()(()( 2211 xgxuxgxuxgxuxf nn??? ?． 反之不真 ． 即能整除 )(,),(),( 21 xgxgxg n? 的組合，未必 ??fx能整除每一個 ??gx． 例 令 ( ) 1f x x?? 而 21( ) 1g x x?? ， 2( ) 1g x x?? 1( ) 1ux?? ， 2()u x x? 顯然 1 1 2 2( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )f x u x g x u x g x?， 但 ( ) | ( )if x g x ． 定義 數(shù)域 P 上次數(shù) 1? 的多項式 ()px 稱為域 P 上的不可約多項式，如果它不能表示成數(shù)域 P 上的兩個次數(shù)比 ()px 的次數(shù)低的多項式的乘積 ． 2． 不可約多項式 ( ) ( ) ( )p x f x g x ，則有 ( ) ( )p x f x 或 ( ) ( )p x g x ． ()px 是不可約多項式的限制是有必要的，否則即可舉出反例： 例 令 2( ) , ( ) , ( ) 1p x x x f x x g x x? ? ? ? ? 顯然有 ( ) ( ) ( )p x f x g x 但 ( ) | ( )p x f x ， ( ) | ( )p x g x ． 定義 不可約多項式 ()px 稱為多項式 ()fx的 k 重因式，如果 ( ) ( )kp x f x ，而1( ) | ( )kp x f x? ()px ． 3． 若不可約多項式 ()px 是 ()fx的 k 重因式（ 1k? ），則 ()px 是 ()fx? 的 1k? 重因反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 10 式 ． 反之不真 ． 例 令 32( ) 3 3 1f x x x x? ? ? ? 則 2( ) 3 6 3f x x x? ? ? ? 1x? 是 ()fx? 的 2 重因式，但 1x? 不是 ()fx的 3 重 因式，事實， 1x? 就不是 ()fx的重因式 ． 定義 如果一個非零的整系數(shù)多項式 110() nnnng x b x b x b??? ? ? ?的系數(shù)10, , ,nnb b b? 沒有異于 1? 的公因子，也就是說，它們是互素的，它就稱為一個本原多項式 ． 4． 本原多項式不一定是不可約的 ． 例 2 32xx??是本原多項式，但 2 3 2 ( 2) ( 1 )x x x x? ? ? ? ?,是可約的 ． 5． 設(shè) ()fx， ()gx 是整系數(shù)多項式，且 ()gx 是本原的，若 ( ) ( ) ( )f x u x g x? ，其中()ux 是有理系數(shù)多項式，則 ()ux 一定是整系數(shù)的 ． 我們說， ()gx 限制為本原的條件不可少，否則 ()ux 就可能有不是整系數(shù)的 ． 例 取 2()f x x x??， ( ) 2 2g x x?? 而 ( ) ( ) ( )f x u x g x? 那么 1()2u x x? ． 6． 愛森斯坦判別法 ：當(dāng) 110() nnnnf x a x a x a??? ? ? ?是一個整系數(shù)多項式，存在一個素數(shù) p 使得 ?。?| npa。本人授權(quán) 大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻的個人或集 體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。 ⅱ） | , 0 ,1, , 1。 學(xué)生（簽名）： 年 月 日 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 31 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進行的研究工作所取得的成果。 學(xué)位論文作者（本人簽名）：