【正文】 北方民族大學(xué) 學(xué)士學(xué)位論文 論文題目 : 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 I 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過(guò)的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過(guò)的材料。對(duì)本研究提供過(guò)幫助和做出過(guò)貢獻(xiàn)的個(gè)人或集 體，均已在文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。 作 者 簽 名： 日 期： 指導(dǎo)教師簽名： 日 期： 使用授權(quán)說(shuō)明 本人完全了解 大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；學(xué)?？梢圆捎糜坝?、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學(xué)?？梢怨颊撐?的部分或全部?jī)?nèi)容。 作者簽名： 日 期： 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 II 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果作品。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了 解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán) 大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。 涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。 作者簽名： 日期： 年 月 日 導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 III 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 摘 要 高等代數(shù)和 數(shù)學(xué)分析是一門(mén)很重要的基礎(chǔ)課程 ，對(duì)學(xué)生 的 數(shù)學(xué)思想的形成 和 后繼課程的學(xué)習(xí)都有著 十分 重要的意義． 反例思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，對(duì)概念的理解，命題的研究中都具有不可替代的作用．恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例，對(duì)于正確理解概念，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，將起著十分重要的作用． 本文主要通過(guò)對(duì)高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，列舉了課本中的反例，并用舉反例的方法加強(qiáng)了對(duì)一些基本概念和基本定理的理解． 關(guān)鍵詞 ： 反例， 高等代數(shù)，數(shù)學(xué)分析 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 IV Application of counterexample in Mathematics Abstract Higher Algebra and Mathematical Analysis are important basic courses, it39。s very important to the formation of mathematical thoughts of students and learning of the following courses． The counterexample is an important thought in Mathematical, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, and nature． The proper use of counterexamples, for a correct understanding of the concept, and develop their logical thinking ability, will play a very important role． This paper mainly through the learning of Higher Algebra and Mathematical Analysis, lists the counterexamples in textbooks, and strengthen the understanding of basic concepts and geometrical theorems． Key Words: counterexample ,Higher Algebra, Mathematical Analysis． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 V 目 錄 前 言 ..................................................................................................................................... 1 第一章 高等代數(shù)中的反例 ................................................................................................. 2 矩陣中的反例 ......................................................................................................... 2 多項(xiàng)式中的反例 ..................................................................................................... 9 線性空間中的反例 ............................................................................................... 11 線性變換中的反例 ............................................................................................... 12 第二章 數(shù)學(xué)分析中 的反例 ............................................................................................... 14 數(shù)列中的反例 ....................................................................................................... 14 函數(shù)中的反例 ....................................................................................................... 16 微商與微分中的反例 ........................................................................................... 19 微積分中的反例 ................................................................................................... 21 級(jí)數(shù)中的反例 ....................................................................................................... 22 偏導(dǎo)數(shù)與全微分中的反例 ................................................................................... 25 致 謝 ................................................................................................................................... 28 參考文獻(xiàn) ............................................................................................................................. 29 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 1 前 言 “ 全等的三角形是相似的 ” 這一命題 是正確 的 ，我們 需 要加以嚴(yán)格的證明； 然而對(duì)于不正確的命題 “ 相似的三角形一定是全等的 ” ，那么我們就要找 到 兩個(gè)相似 但并不是全等的 三角形， 即 舉 出 一個(gè)反例 ． 由此看來(lái)，對(duì)于命題來(lái)說(shuō) ，給出證明和構(gòu)造反例是同等重要的 ． 數(shù)學(xué)分析 中 包含 了 一套抽象且形式化 的 理論體系，概念難以理解 ， 學(xué)習(xí)中容易犯一些 表象 的錯(cuò)誤， 比如， 我們 會(huì) 將一些函數(shù)的 特定 性質(zhì)通過(guò)四則運(yùn)算 用到另一個(gè)函數(shù)上 ． 反例是解決此類問(wèn)題最有效 的 方法 ． 由于 數(shù)學(xué)分析 思維 的嚴(yán)謹(jǐn)性，定理 性質(zhì) 的給出一般都帶有一些限制條件， 這些條件是不可忽視的 ． 恰當(dāng)?shù)厥褂梅蠢?，對(duì)于 深入 理解定理的條件，準(zhǔn)確 掌 握概念的 本質(zhì) ，可以起到無(wú) 可 比擬的作用 ． 此外，反例對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的理論發(fā)展和完善也起著 非常 重要 的 作用 ． 構(gòu)造反例，可以深化理解基本概念，可以充分掌握定理的本質(zhì)，可以有 效糾正錯(cuò)誤的命題或定理； 通過(guò)構(gòu)造反例，從反面消除一些易出錯(cuò)的條件，嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本質(zhì) ． 定理證明中，反例具有同等重要的作用，通過(guò)嚴(yán)密的證明才可以肯定一個(gè)命題的正確性，而反例即可否定一個(gè)命題的正確性 ． 這篇論文的主要內(nèi)容是舉出關(guān)于數(shù)學(xué)中的反例，包括高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析兩部分．在舉反例的過(guò)程中，所涉及到的定理和命題均參照高等代數(shù)第三版和數(shù)學(xué)分析第二版的教材，為了加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題的理解，我們舉出了一些具有說(shuō)明性的反例． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 2 第一章 高等代數(shù) 中的反例 高等代數(shù) 是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課 程 之一 , 為 進(jìn)一步學(xué)習(xí) 其他后續(xù)知識(shí)奠定了基礎(chǔ)，它包括了對(duì)多項(xiàng)式、矩陣、線性空間、線性變換的學(xué)習(xí) ． 下面列出在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的需要用反例來(lái)判斷命題或定理的正確性的例子 ． 矩陣 中的反例 矩陣是數(shù)學(xué)中 應(yīng)用廣泛的 極其重要的概念， 在高等代數(shù)中， 它 占著十分重要的地位，它貫穿了整個(gè)高等代數(shù)的學(xué)習(xí) ． 下面就 列出 矩陣的運(yùn)算以及不同性質(zhì)矩陣 的 之間的 關(guān)系 所 運(yùn)用 的反例 ． 矩陣 乘 積中的反例 定義 [1] 設(shè) ()ik snAa? ， ()kj nmBb? ，那么矩陣 ()ij smCc? ，其中 1 1 2 2 1ni j i j i j i n n j i k k jkc a b a b a b a b?? ? ? ? ? ?， 稱為 A 與 B 的乘積，記為 C AB? ． 1. 我們知矩陣的加法滿足交換律 ，而矩陣的乘法不適合交換律 ． (1) mn nsAB有意義，當(dāng) ms? 時(shí)， nm snBA沒(méi)有意義； (2) mn nmAB和 nm mnBA都有意義，當(dāng) mn? 時(shí)，它們 乘積是 階數(shù)不等 的矩陣 ； (3) AB 和 BA 都是 n 階的 ． 例 取 1121A ???????， 1112B ??????? 則 1 1 1 1 2 32 1 1 2 3 4AB ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 1 1 1 1 3 21 2 2 1 5 3BA ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 故 AB BA? ，即矩陣 不適合 乘法交換律 ． 2. 矩陣的乘法不滿足消去律： 0A? ， AB AC? 未必有 BC? ． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3 例 取 1111A ?????????， 1111B ?????????， 1111C ????????? 顯然 0A? ， 0AB AC?? 而 BC? ． 3. 一般情況下， ()k k kAB A B? ． 例 取 2112A ???????， 1111B ???????? 則 3131AB ????????， 2 3 1