【正文】 I淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用畢業(yè)論文目 錄1 緒論 1 引言 1 數(shù)學(xué)歸納法的來(lái)源 12 數(shù)學(xué)歸納法的概述 3 常用數(shù)學(xué)證明方法 3 演繹法 3 歸納法 3 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 3 數(shù)學(xué)歸納法概念 3 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理 4 數(shù)學(xué)歸納法的其它形式 53 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 6 數(shù)學(xué)歸納法的步驟 6 三個(gè)步驟缺一不可 74 數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng)用 9 94．2 證明不等式 104．3 證明整除問(wèn)題 13 證明幾何問(wèn)題 13 行列式與矩陣的證明 145運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤分析 17 忽略了歸納奠定基礎(chǔ)的必要性 17 在第二步證明中沒(méi)有利用歸納假設(shè) 186 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的一些技巧 19 靈活選取“起點(diǎn)” 19 恰當(dāng)選取“跨度” 20 選取合適的假設(shè)方式 20 以“假設(shè)時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立” 20 以“假設(shè)，時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立” 217 數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用 23致 謝 24參考文獻(xiàn) 251淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用1 緒論在高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)歸納法，在高中階段，學(xué)生主要是通過(guò)了解數(shù)學(xué)歸納法的證明三步驟來(lái)模仿證明其他表達(dá)式的成立，學(xué)生也往往滿(mǎn)足于“時(shí)命題成立，那么時(shí)命題也成立”的證明方法。數(shù)學(xué)歸納法是一種重要且獨(dú)特的證明方法,對(duì)與自然數(shù)有關(guān)的命題證明是可行有效的，它使學(xué)生了解一種“化無(wú)限為有限”的辯證思維方法，而且它又不是那么直觀易懂的，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程中，總會(huì)產(chǎn)生一個(gè)這樣的疑問(wèn)，在用數(shù)學(xué)歸納法證明表達(dá)式中，證明三步驟是不是真的完整呢，真僅是純粹的假設(shè),一旦不真,用它去推真，豈不是“無(wú)稽之談”，即使推出真能保證真嗎？如果讓學(xué)生帶著這種疑問(wèn)去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法肯定會(huì)影響他們的學(xué)習(xí)情感的。當(dāng)然老師會(huì)說(shuō)這是非常完整的,那么他們又是根據(jù)什么原理來(lái)說(shuō)明自己是正確的呢。我想如果能夠?qū)W(xué)生們講清楚數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)和由來(lái)，可以使學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)歸納法和它的運(yùn)用，在用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，當(dāng)然我們會(huì)知道這個(gè)恒等式肯定是正確的，那么它又是如何被前人計(jì)算出來(lái)的呢，數(shù)學(xué)歸納法只是證明這個(gè)等式的正確性而不能求解，可見(jiàn)數(shù)學(xué)歸納法也有著自己的限制和適用范圍，那么在這個(gè)等式的成立過(guò)程中數(shù)學(xué)歸納法到底扮演一個(gè)什么樣的角色呢。要解決這些問(wèn)題都要求我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有著深刻的理解。 引言 數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法。論證的第一步是證明命題在(或)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在時(shí)命題成立，再證明時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或且）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用在證明下列命題：與自然數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)列、幾何、整除性、計(jì)數(shù)、矩陣等等。 數(shù)學(xué)歸納法的來(lái)源數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個(gè)較長(zhǎng)的歷史時(shí)期，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯利用點(diǎn)子數(shù)對(duì)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題進(jìn)行探討．他確信無(wú)疑地得出：畢達(dá)哥拉斯可能以為這就是一種證明，他的幾乎所有的有關(guān)點(diǎn)子數(shù)的命題，都是由有限個(gè)特殊情況而作出一般的結(jié)論，但這種推理只是簡(jiǎn)單的枚舉而沒(méi)有碰到矛盾事實(shí)的歸納結(jié)果，因此是不完全的歸納推。．盡管如此，他仍為數(shù)學(xué)歸納法的確定奠定了一定的基礎(chǔ)。 而對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，李文林翻譯的美國(guó)數(shù)學(xué)史《數(shù)學(xué)史通論》（第二版）中，十四世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、（Levi ben Gerson,12881344）在其1321年出版的代表作《計(jì)算技術(shù)》中也已經(jīng)“本質(zhì)上使用了數(shù)學(xué)歸納法”，更有資料表明，在中世紀(jì)伊斯蘭數(shù)學(xué)中就已經(jīng)較清楚、廣泛地使用了數(shù)學(xué)歸納法及其原理[2]。但真正比較明確使用數(shù)學(xué)歸納法的是意大利數(shù)學(xué)家、物理天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494 1575），真正明確數(shù)學(xué)歸納法證明兩步的應(yīng)該還是17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家帕斯卡( B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早將數(shù)學(xué)歸納法的證明用形式的兩步明確下來(lái)?！皵?shù)學(xué)歸納法”名稱(chēng)則是由英國(guó)數(shù)學(xué)家創(chuàng)立, 并由英國(guó)教科書(shū)作者普遍采用而推廣[4]。25淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用2 數(shù)學(xué)歸納法的概述 常用數(shù)學(xué)證明方法數(shù)學(xué)是一門(mén)非常注重學(xué)習(xí)方法的學(xué)科,而數(shù)學(xué)的證明更是將這些方法體現(xiàn)的淋漓盡致，數(shù)學(xué)中研究問(wèn)題的方法一般有以下分類(lèi)： 演繹法 演繹法是從一般性原理得出特殊結(jié)論的推理方法，即從一般到特殊的推理方法。演繹法的特點(diǎn)是它從真實(shí)的前提一定能推出真實(shí)的結(jié)論。因此，演繹法是一種必然的推理，它是一種嚴(yán)格的邏輯證明方法。 歸納法 歸納法是由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納推理。根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，歸納法又可分為不完全歸納法和完全歸納法[2]。不完全歸納法是根據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一般結(jié)論的推理方法。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。在問(wèn)題探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，通過(guò)對(duì)這些特例的不完全歸納形成猜想，然后再試圖去證明或否定這種猜想。因而學(xué)會(huì)用不完全歸納法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索，對(duì)提高數(shù)學(xué)能力十分重要。不完全歸納法又可分為枚舉歸納法和因果歸納法兩類(lèi)。枚舉歸納法是以某個(gè)對(duì)象的多次重復(fù)作為判斷根據(jù)的歸納方法；因果歸納法歸納法是把一類(lèi)事物中部分對(duì)象的因果關(guān)系作為判斷的前提而做出一般性猜想的方法[2]。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的。通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法。 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 數(shù)學(xué)歸納法概念數(shù)學(xué)歸納法概念: 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與正整