【文章內容簡介】 (0,1,1)?? ， 1 (1,0,0)? ? ， 2 (0,1,0)? ? 明顯的是 ? 不能由 12,??線性表出，然而 12,??? 線性相關 ． 2. 若 12, , , r? ? ? 線性無關，則其中任意兩個不同的向量必定線性無關，反 之如何？即兩兩線性無關，是否全部線性無關？ 例 1 (1,1,1)?? ， 2 (1,0,0)? ? ， 3 (0,1,1)? ? ， 這里任意兩向量線性無關 ． 可是， 1 2 3? ? ???，即 1 2 3,? ? ? 線性相關 ． 所以，兩兩線性無關，不一定全部線性無關 ． 子空間 3. 子空間的直和都是和，而子空間的和未必是直和 ． 例 ? ?1 2 3( , , )iV a a a a? 是 實 數(shù)， P 是實數(shù)域 ． ? ?1 1 2( , , 0 ) iS a a a? 是 實 數(shù)， ? ?2 2 3(0 , , ) iS b b b? 是 實 數(shù)． 顯然 12V S S?? 對任意的 ( , , )x y z V? ， 反例在數(shù)學中的應用 12 ( , , ) ( , , 0 ) (0 , 0 , ) ( , 0 , 0 ) (0 , , )x y z x y z x y z? ? ? ? 只要 0y? ，就是兩種不同的表示方法 ． 所以， 12VV? 不是直和 ． 線性變換 中的反例 1. 線性變換把線性相關的向量組變?yōu)?線性 相關的向量組，但 反之 不真 ． 例 0變換就把線性無關的向量組變?yōu)?線性相關的向量組 ． 2. 線性變換的乘法不 滿足 交換律 ． 例 在 實數(shù)域 R 上的 線性空間 ??Rx中，線性變換 ( ( )) ( )f x f x? ?? 0( ( )) ( )xf x f t d t? ? ? 的乘積， =??? ，而一般說來 ?? ?? ． ? 為單位變換（恒等變換） 3. 線性變換乘積的指數(shù)法則不成立，即一般來說， ? ?k kk?? ? ?? k 例 線性變換 ? ? 221 2 3 1 2 3 3, , ( , , )x x x x x x x? ??， ? ?1 2 3 1 2 2 3 1, , (2 , , )x x x x x x x? ? ? ?= 取 (1,0,1)?? ，則 ? ? ? ?1 , 0 ,1 ( 2 ,1 ,1 ) ( 4 , 2 ,1 )?? ? ?? ?? ? ?= ， ? ? ? ? ? ?2 4 , 2 , 1 (6 , 3 , 4 ) ( 3 6 , 7 , 1 6 )?? ? ?? ?? ? ?=； ? ? ? ?2 2 2 2 21 , 0 ,1 ( 3 , 2 , 2 ) ( 8 1 , 8 ,1 6 )? ? ? ? ? ?? ? ?=； 即 ? ?2 22?? ? ?? k 成立 ． 4. 相似矩陣有相同的特征多項式，但反之不真 ． 例 1001A ???????， 1101B ??????? 2| | ( 1)EA??? ? ?， 2| | ( 1)EB??? ? ? 即有相同的特征的多項式，可是 A 與 B 不相似 ，這是因為 反例在數(shù)學中的應用 13 11X AX X X E? ?? 這就是說， A 只能與 E 相似 ． 定義 設 ? 是數(shù)域 P 上線性空間 V 的線性變換， W 是 V 的子空間 ． 如果 W 中的向量在 ? 下的像仍在 W 中，我們就稱 W 是 ? 的不變子空間，簡稱 ?? 子空間 5. ? ， ? 是線性空間 V 的線性變換 ． 若 ?? ???= ，則 ()V? ， 1(0)B? 都是 ?? 子空 間，同樣 ()V? ， 1(0)A? 是 ?? 子空間 ,反之不真 ． 例 P是數(shù)域 1 2 3{ ( , , ) }iV x x x x P?? 而 1 2 3 1 2 2 3( , , ) ( , , )x x x x x x x? ?? 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )x x x x x x? ?? 都是線性變換 ． 易知 ()VV? ? ， 1(0)A? ?0 都是 ?? 子空間 ； ()VV? ? ， 1(0)B? ?0 都是 ?? 子空間 ． 可是 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x x x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? 1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )x x x x x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? 因而 ?? ??? ． 反例在數(shù)學中的應用 14 第二章 數(shù)學分析 中的反例 數(shù)學分析 也 是數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課 之一 , 是進一步學習 數(shù)學其他課程的基礎 ． 它是一門 邏輯性 很 強 的課程， 它有 許多重要 的 概念都是用抽象的數(shù)學語言 來 描述 的 , 在學習過程中 很難 理解其 中 含義 , 因此在 學習中 經(jīng)常使用反例來理解 學習中時 常 出現(xiàn)的錯誤 , 充分理解一些定理和概念 ． 這部分 對課本中容易出現(xiàn)錯誤的概念和定理用反例來加深理解和學習 ． 數(shù)列 中的反例 1. 定理 [3]：設 limnn aa?? ?， limnn bb?? ?，則 ⅰ ） l i m( ) l i m l i mn n n nn n na b a b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?； ⅱ ） li m li m li mn n n nn n na b a b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?； ⅲ ） limlim ( 0 )lim nnnn naa a bb b b???? ??? ? ?． 那么，對于兩個發(fā)散的數(shù)列， 是否有 ： （ 1）之和發(fā)散；（ 2）之積發(fā)散，（ 3）其商發(fā)散 ？ 答案是不成立，有反例 可以說明 ． 例如， (1) 1nxn?? ， nyn?? ． 因為 limnn x?? ???， limnn y?? ???，則 nx 發(fā)散的， ny 是發(fā)散的 ． 但是數(shù)列 l i m l i m( 1 ) ( ) 1nnnnx y n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? 卻是收斂的 ． (2) ( 1) 1nnx ? ? ? ， ( 1) 1nny ? ? ? ． 這兩個數(shù)列都是發(fā)散的，但是數(shù)列 l i m l i m [ ( 1 ) 1 ] [ ( 1 ) 1 ] 0nnnnnnxy? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 卻是收斂的 ． (3) nxn? ， 2nyn? ． 這兩個數(shù)列都發(fā)散，但是 反例在數(shù)學中的應用 15 2 1lim lim lim 0nn n nnx ny n n? ? ? ? ? ?? ? ? 是收斂的。 2. 定理 有極限存在的數(shù)列必有界 ． 反之不真，存在反例 ． 例 數(shù)列 1 ( 1)nnx ? ? ? 數(shù)列 nx 在 0 和 2 之間跳動，但當 n?? 時，并不 能 接近于一個常數(shù)，因此極限 limnn a??并不存在 ． 3. 定理 單調 上升（下 降） 有 上（下） 界 的 數(shù)列 必有極限存在 ． 然而， 收斂數(shù)列 單調有界 ， 是否成立呢 ？ 不成立，存在反例：收斂 但是不單調的數(shù)列 ． 例 3 ( 1 ) , 1 , 2 , 3nnxnn????， 其極限 3 ( 1 )lim lim 0nnnnx n? ? ? ? ????，但是對于任意正整數(shù)，都有 242 1 2kk?? ， 242 1 2kk?? ， 即 2 1 2kkxx? ? ， 2 1 2kkxx? ? ． 所以，數(shù)列并不單調 ． 4. 若 limnn aa?? ?， lim| | | |nn aa?? ?，反之是否成立？ 反之不成立，例如， ( 1)nna ?? ． lim 1nn a?? ? ，但是 lim( 1)nn??? 不存在 ． 5. 若 ? ?nnxy 收斂， 是否 ? ?? ?,nnxy就收斂？ 不能斷 定，存在反例 ． 例如 ， ( 1)nnnxy? ? ? ， ? ?nnxy 收斂，但是 ? ?? ?,nnxy發(fā)散 6. 若 {}na ， {}nb 中一個是收斂數(shù)列，一個是發(fā)散數(shù)列，那么 {}nnab 和 反例在數(shù)學中的應用 16 { }( 0)n nna bb ? 是否也是發(fā)散數(shù)列 ． 例 取 1na n?， nbn? ， 則 1nnab? ，21nnabn?， 故 {}nnab 和 {}nnab 是收斂數(shù)列 ． 函數(shù) 中的反例 函數(shù)的極限 1. 定義 2. 1[4] 設 ()fx在 0x 點附近（除 0x 點外） 有定義 , A 是一定數(shù) ． 若 對 任意給定的 0?? ，存在 0?? ， 當 00 | |xx ?? ? ? 時 , 有 | ( ) |f x A ?? , 則稱 A 是 ()fx當 x 趨于 0x 的極限 ． （ 1）我們會 認為 如果 ()fx在 0x 點處有極限 , ()fx 在 0x 就有 定義 ． 根據(jù)定義：在 0x 點附近（除 0x 點外） 有定義 ， 這說明函數(shù) ()fx 在 0x 是否存在極限與函數(shù)在 0x 處是否有定義無關 ． 例 3 1() 1xfx x ?? ? 在 1x? 處雖然無定義，但1lim ( ) 3x fx? ?． 在 1x? 處無定義 , 但極限是存在的 ． （ 2）若 ()fx在 0x 處有定義 , 但 ()fx在 0x 處的極限與 (0)f 在 0x 處的函數(shù)值無 關 ． 例 21si n 0( ) 0 010xxxf x xxx? ??????? ????，， ， 反例在數(shù)學中的應用 17 盡管 ()fx在 0x? 處有定義 (0) 0f ? ， 但 ()fx在 0x? 時極限不存在 ． （ 3） 在函數(shù)極限定義中將 | ( ) |f x A ?? 改為 ( ) f x A ?? ，是否有0lim ( )xxf x A? ?？結論是不成立的 ． 例 ( ) sin 1f x x??， 1A? ， 0 0x? ， 則 0???， 0???， 當 00 xx ?? ? ? 時 , 總 有 ( ) s in 2 0f x A x ?? ? ? ? ? 成立 ,但0lim ( ) s in 0 1 1 1x fx? ? ? ? ? ?． 2. 如果0lim ( )xxfx?存在，但0lim ( )xxgx?不存在，那么0lim[ ( ) ( )]xx f x g x? ?不存在 [6]． 此命題錯誤，存在反例 ． 例 ()f x x? ， 1( ) singx x? 因為 lim( )x fx??不存在， lim ( ) 0x gx?? ?，但 1si n1l im [ ( ) ( ) ] l im si n l im 11x x x xf x g x x xx? ? ? ? ? ?? ? ? ?． 3. 若函數(shù)0lim ( )xxf x A? ?，則0lim | ( ) | | |xx f x A? ?，但反之不真 ． 例 sin() ||xfx x? 0 0 0si n | si n |l i m | ( ) | l i m | | l i m 1| | | |x x xxxfx xx? ? ?? ? ?； 0 0 0s i n s i nl i m ( ) l i m l i m 1||x x xxxfx xx? ? ?? ? ????， 0 0 0s i n s i nl i m ( ) l i m l i m 1||x x xxxfx? ? ?? ? ?? ? ? ??． 故0lim ( )x fx?不存在 ． 反例在數(shù)學中的應用 18 函數(shù) 的連續(xù)性 1. 定義 [4] 設函數(shù) ()fx在 在包含 0x 一個開區(qū)間有定義 ,如果 0 0lim ( ) ( )xx f x f x? ?, 則稱 ()fx在 0x 是 連續(xù) 的 ． 有定義可見， ()fx在 0x 點連續(xù) 需要滿足下列三個條件 [4]: ⅰ ) ()fx在 0x 點附近以及 0x 點有定義 ； ⅱ ) ()fx在 0x 點的極限存在 ； ⅲ )