【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 kk ??1 兩邊都加上 1，就得 1??kk 這就是說(shuō)，第 k 個(gè)正整數(shù)等于第 1?k 個(gè)正整數(shù)，這不是說(shuō)明了所有的正整數(shù)都相等了嗎？ 錯(cuò)誤就在于，我們沒(méi)有考慮 1?k 的情況。 例 724912 ??nn 在正自然數(shù)上都 是素?cái)?shù)。 陜 西科技大學(xué)畢業(yè)論文 8 分析：當(dāng) 11000,3,2,1 ??n 的時(shí)候，式子 724912 ??nn 的值都是素?cái)?shù) ,即使如此，我們還不能確立是任何正整數(shù)的時(shí)候，這個(gè)式子的值都是素?cái)?shù)，事實(shí)上，只要 72490?n 的時(shí)候它的值就不是素?cái)?shù)。 這也就是說(shuō)，即使我們?cè)嚵?11000次，式子 724912 ??nn 的值都是素?cái)?shù)，我們?nèi)耘f不能斷定這個(gè)命題一般的正確性。 這就足夠說(shuō)明了 1?n 是遞推的基礎(chǔ) ,二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過(guò)程，它解決了從特殊值 0nn? 到一般 0nn? 的過(guò)渡。這三個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可。如果只有奠基步驟，而無(wú)歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無(wú)奠基步驟，那么歸納步驟的假設(shè)就失去了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。 所以， 用 數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應(yīng)用假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的，就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題大概有兩種類型： )1( 能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來(lái)證明的，證明這類問(wèn)題時(shí)，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項(xiàng)，通過(guò)適當(dāng)變換完成證明，對(duì)于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中比較常見(jiàn)。 )2( 不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來(lái)證明的，這類命題解題時(shí)，一般通過(guò)下面的兩種途徑為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件 ,先將 1??kn 代入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而得到結(jié)論；利用其它數(shù)學(xué)知識(shí)，建立 )(kp 與 )1(?kp 的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立，對(duì)于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的概率也是很大的。淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 9 4 數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種極為有效的方法，它在證明中的應(yīng)用是十分廣泛的 。 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù) n 有關(guān)的恒等式、不等式、 證明整除問(wèn)題、證明幾何問(wèn)題 以及矩陣問(wèn)題 等 。 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過(guò)程中只要實(shí)現(xiàn)等式左右兩邊相等即可 。 下面舉例說(shuō)明． 例 用數(shù)學(xué)歸納法證明： *1 1 1 ()1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1n nNn n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 證明： (1)當(dāng) 1n= 時(shí)，左邊 111 3 3??? ，右邊 112 1 1 3???? ∴左邊 =右邊 (2)假設(shè) nk= 時(shí)，等式成立．即 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1kk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) 1nk=+時(shí)， 1 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 3 )12 1 ( 2 1 ) ( 2 3 )( 2 3 ) 1( 2 1 ) ( 2 3 )( 2 1 ) ( 1 )( 2 1 ) ( 2 3 )12( 1 ) 1k k k kkk k kkkkkkkkkkk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ??????????????? ∴當(dāng) 1nk=+時(shí)，等式也成立 。 由 (1)(2)知，等式對(duì)任何 ??Nn 都成立 。 例 （ 2021江蘇卷（理科））已知△ ABC 的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù) 。 陜 西科技大學(xué)畢業(yè)論文 10 （ 1）求證： cosA 是有理數(shù)； （ 2）求證：對(duì)任意正整數(shù) n ， cosnA 是有理數(shù)． 證明： (1)由 AB 、 BC 、 AC 為有理數(shù)及余弦定理知 2 2 2c o s2A B A C B CA A B A C+= 是有理數(shù) 。 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明 cosnA 和 sin sinA nA 都是有理數(shù) 。 ①當(dāng) 1n= 時(shí)，由（ 1）知 cosA 是有理數(shù)，從而有 2si n si n 1 c osA A A? ? ?也 是有理數(shù) 。 ②假設(shè)當(dāng) ( 1)n k k??時(shí)， coskA 和 sin sinA kA 都是有理數(shù) 。 當(dāng) 1nk=+時(shí)，由 c os( 1 ) c os c os si n si nk A A k A A k A? ? ? ? ?, s in s in ( 1 ) s in ( s in c o s c o s s in )( s in s in ) c o s ( s in s in ) c o sA k A A k A A k A AA k A A A A k A? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 由①和歸納假設(shè)，知 cos( 1)kA+ 與 sin sin( 1)A k A??都是有理數(shù) 。 即當(dāng) 1nk=+時(shí)，結(jié)論成立 。 綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù) n ， cosnA 是有理數(shù) [5] 。 數(shù)學(xué)歸納法最簡(jiǎn)單的應(yīng)用之一，是用來(lái)研究排列和組合的公式，通過(guò)高中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道：“從 n 個(gè)不同的元素里 ，每次取 r 個(gè)，按照一定的順序擺成一排，稱做從 n 個(gè)元素里每次取出 r 個(gè)元素的排列 。 ”排列的種數(shù)，稱做排列數(shù) 。 從 n 個(gè)不同的元素里每次取 r 個(gè)元素所有不同的排列數(shù)，可以用符號(hào) rnA 來(lái)表示 。 對(duì)于 rnA 有下面的公式： 定理 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )rnA n n n n r= + 現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它 。 證明：首先， 1nAn= ． 這是顯然的．如果再能證明 11rrnnA nA= ， 那么，這個(gè)定理就可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明 。 我們假定 n 個(gè)元素是 12, , , ,na a a 在每次取出 r 個(gè)元素的 rnA 種排列法里，以 1a 為首的共有 11rnA 種，以 2a 為首的同樣也有 11rnA 種，由此即得 11rrnnA nA= 于是定理得證 [6] 。 4． 2 證明不等式 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種．嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．對(duì)于非嚴(yán)格不等式，情況略顯復(fù)雜，在證明過(guò)程的第一步驗(yàn)證中，對(duì)于“ 179。 ”或“ 163。 ”的處理，存在兩種不同的看法，一種觀點(diǎn)認(rèn)為：在第一步中，既要驗(yàn)證“ AB= ”成立，也要說(shuō)明 ()A B A B成立 。 只有如此，才能更充淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 11 分地體現(xiàn)非嚴(yán)格不等式 ()A B A B常 成立 。 另一種觀點(diǎn)認(rèn)為：在第一步中，只要證明 AB=或 ()A B A B有一個(gè)成立，即可說(shuō)明非嚴(yán)格不等式 ()A B A B常 成立 。 從邏輯連接詞的角度，我傾向于后者 。 事實(shí)上，用數(shù)學(xué)歸納法證明非嚴(yán)格不等式時(shí)， AB= 是 AB179。 或 AB163。 的基礎(chǔ) [7] 。 例 求證： 212 121 1 1( ) ( ) ( 0 )nn na a a n aa a a? ? ? ? ? ? ? ? 證明：（ 1）當(dāng) 1n= 時(shí)，不等式成立 。 （ 2）假設(shè)當(dāng) ()n k k N??時(shí)命題成立，即 212121 1 1( ) ( )kka a a ka a a? ? ? ? ? ? ? 那么當(dāng) 1nk=+ 1 2 11 2 11 2 1 2 11 2 1 1 21 1 1 1( ) ( )1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1kkkkk k kk k ka a a aa a a aa a a a a a aa a a a a a a????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 2 11 1 2221 1 1 12 ( ) ( ) 121kkkkk a a a aa a a akk??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2221( 1)kkk= + +=+ 即當(dāng) 1nk=+時(shí)，命題成立 。 根據(jù)（ 1）和（ 2），可知命題對(duì)任何 *nN206。 都成立 [8] 。 例 求證： 1 1 1 1 3 ( 2 , )1 2 2 2 4 n n Nn n n? ? ? ? ? ??? 證明：（ 1）當(dāng) 2n= 時(shí)，左邊 = 1 1 7 1 4 1 33 4 1 2 2 4 2 4+ = = =右邊 ∴不等式成立 （ 2）假設(shè)當(dāng) ( 2)n k k??時(shí)命題成立，即 1 1 1 1 31 2 2 2 4k k k+ + + ++ 令 1 1 11 2 2kS k k k= + + +++ 陜 西科技大學(xué)畢業(yè)論文 12 那么當(dāng) 1nk=+時(shí)，令1 1 1 1 1 12 3 2 2 1 2 2kS k k k k k+ = + + + + ++ + + + 則有1 1 1 1 1 02 1 2 2 1 2 ( 1 ) ( 2 1 )kkSS k k k k k+ = + = + + + + + ∴ 1kkSS+ 由歸納假設(shè)知， 1324kS ，則1 1324kS+ 即當(dāng) 1nk=+時(shí)，命題成立 。 根據(jù)（ 1）和（ 2），可知命題對(duì)任何 *nN206。 都成立 。 有時(shí)候，我們要證明的不等式無(wú)法直接運(yùn)用歸納法解決，這時(shí)，我們則考慮將不等式加強(qiáng)以便運(yùn)用歸納法 。 而不等式加強(qiáng)的形式是多樣的，其中規(guī)律有法可循 —— 根據(jù)要證不等式的形式進(jìn)行構(gòu)造 。 例 若不等式 2413 1312111 annnn ????????? ?對(duì)一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù) a的最大值，并證明你的結(jié)論。 解：取 1?n ， 2426113 121 111 1 ??????? 令 242426 a? ，得 26?a ，而 ??Na ， 所以取 25?a ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 242513 1312111 ????????? nnnn ? 1） 1?n 時(shí)，已證結(jié)論正確。 2）假設(shè) kn? 時(shí)，不等式成立。 3）則當(dāng) 1??kn 時(shí)，有 1)1(3 133 123 113 12)1( 11)1( 1 ??????????????? kkkkkk ? )1143 133 123 1()13 12111( ??????????????? kkkkkkk ? ?????? ?????? )1(3 243 123 12425 kkk 因?yàn)? )1(3 28189 )1(643 123 1 2 ???? ????? kkk kkk 所以 淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 13 0)1(3 243 123 1 ?????? kkk 所以 24251)1(3 12)1( 11)1( 1 ?????????? kkk ? 即 kn? 時(shí)，結(jié)論成立。