多項式理論在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-05-01 04:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 重要的基本技能訓(xùn)練，在分式運算，解方程和各種恒等變換中都要經(jīng)常用到因式分解，所以對因式分解我們應(yīng)給予足夠重視.3 一元高次方程 定理2 設(shè)中次多項式在復(fù)數(shù)域C中有個根 則根與系數(shù)的關(guān)系是 定理3 （代數(shù)基本定理）任何次多項式在復(fù)數(shù)域上至少有一個根. 定理4 若實數(shù)多項式有一個非實的復(fù)數(shù)根，那么的共軛根也是的根，實系數(shù)多項式的非實的復(fù)數(shù)根兩兩成對. 已知方程的所有的根，求方程.例6 求所有以有理數(shù)為根的方程解 利用根與系數(shù)的關(guān)系知滿足 （i）若(或)，由③知，代入①得（或） （ii）若，但，由②得，代入①得，顯然，是方程的根；（iii）若均不為0，由③得代入①②得這個方程有且僅有一個有理根，從而，.顯然有根1和重根. 綜上所述，所求方程為或或例7 求有單根與以及二重根的四次多項式. 解 由根與系數(shù)的關(guān)系知： ， ， ， .因此所求多項式是或（）. 已知方程的部分根，求解方程. 例8 已知方程有一個根是，解此方程. 解 因為實系數(shù)方程的虛根成對出現(xiàn)，故也是上述方程的根，由代數(shù)基本定理可知此方程有個根,設(shè)此方程其余兩根為、由根與系數(shù)的關(guān)系得解得,即是所給方程的二重根，所以原方程的根為,. 此題還可用綜合除法求得是所給方程的二重根，然后再利用實系數(shù)多項式的非實復(fù)根兩兩成對理論求出方程的另一根. 已知方程組，求方程組的解. 形如方程組 其中，都是一元高次方程，我們可以考慮從方程組的公共根出發(fā)，利用輾轉(zhuǎn)相除法求和的最大公因式，再令其等于零. 例9 解方程組 解 令，對，施行輾轉(zhuǎn)相除法，求得，令，.4 多項式的恒等 定理5 （多項式恒等定理）數(shù)域F上的兩個多項式 恒等的充要條件是它們的次數(shù)相同，且同次項系數(shù)對應(yīng)相等即，且 例10 對于任意的實數(shù),不等式恒成立，求滿
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