淺析判別式在解題中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-22 17:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 在文[9]?2?? 把顯函數(shù) 的形式化為隱函數(shù)的形式；)(i?2 由于 是實(shí)數(shù),則用判別式可有 ；ix0?? 將 值代入方程,求出對應(yīng)的極值.)(y 目的：構(gòu)造相關(guān)函數(shù),轉(zhuǎn)化成判別式的知識,進(jìn)而解決問題.(3) 求多元函數(shù)的極值. 例 8 當(dāng) 的值域?yàn)?,求 的取值范圍.)86lg(2???mxy Rm 解 要使上述函數(shù)的值域?yàn)?,必須有 能取到大于零的一切值,862??x因此 ??????.0,濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 7 所以解得 的取值范圍為 .m1? 例 9 令 ,求 的最小值是多少.)0(2)(),2????yxyxF),(yxF分析 這是一個多元函數(shù),在《多元函數(shù)極值的判別方》[10]中介紹了把原函數(shù)整理成一個二次函數(shù),把一個未知數(shù)看成參數(shù),應(yīng)用判別式來確定函數(shù)的取值.解 令,)0(2)(2????yxyT 把上式化為,04)2(4522 ???Tyxyx 則,0)4(5)2(2?????yy 整理得 ，1681652??yT 當(dāng)且僅當(dāng) 時,得42?y，516min?T 即 的最小值是 .),(yxF516 在二次曲線中的應(yīng)用(1) 二次曲線之間的位置關(guān)系. 李永根老師在文[11]中介紹了二次曲線的定義和性質(zhì).二次曲線 在平面上,由二元二次方程(其中 不全為零)022313211 ????ayxayxa 21,a 所表示的曲線,叫做二次曲線. 例 10 已知拋物線與橢圓的方程分別為, .mxy52??12432?y 當(dāng) 為何實(shí)數(shù)時,拋物線與圓相切 ,相交,相離 .m濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 8 解 聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程,整理得,0)35(4832???mx 其判別式為,)(62?? 當(dāng) 時,拋物線與橢圓相切 ,即0??或 ；43m 當(dāng) 時,拋物線與橢圓相交 ,即0?或 ；3?4? 當(dāng) 時,拋物線與橢圓相離 ,即0??.4m(2) 求二次曲線方程. 例 11 已知經(jīng)過圓錐曲線和032???yx02??yx的交點(diǎn)與直線 相切,? 解 構(gòu)造函數(shù) ，)()3(22 yxyxF???? 將 代入上式得xy2? ，xx)12()(? 由題意得 時必有相等的根 ,所以0F即，0)(2???.1?? 將 代入構(gòu)造函數(shù)使其等于零即為所求圓錐曲線 ,21???所以所求圓錐曲線為.03622????yxxy濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 9 在二次不等式的應(yīng)用 研究二次不等式在文[12]介紹了討論二次函數(shù) 或)0(2???acbxy?y的自變量 的取值范圍,?yx(1) 不等式的證明. 例 12 已知： , , 是實(shí)數(shù),且滿足等式xyz, ,0782???x062???xyz 求證： .91? 證 由題意得,782??xyz，6?）（ 上式整理得 ，（ 2)1(78????xxzy 即為 ，2)(??xzy 因?yàn)? 和 是方程tz 0)78()1(22??tt? 的兩個根,由于 是實(shí)數(shù)，所以 ，)(4)(2???xx 解得.91?(2) 不等式的有關(guān)極值. 例 13 已知 和 是方程 ( 為實(shí)數(shù))的兩個實(shí)根,求證1x2 053()2(2???kxk的最大值為 ? 解 由韋達(dá)定理得 ，1)5(221????kx濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 10 由此得到 時,?k(3) 三角不等式的證明. 例 14 已知： ,求證10??.)cos(arin)arcsin(??? 證 因?yàn)?,所以 ，02)]2(arcsi[)arcsi(??????? 又因?yàn)? ，01)(arcsini1)cos(arin22????? 下面證明 ，21???? 為此構(gòu)造一個關(guān)于 的二次函數(shù)?，42)()()22?????f 這是一個關(guān)于 的二次函數(shù),由于二次項(xiàng)系數(shù)大于零,?，0842???????? 所以對所有 ,恒有 ,即?)(?f ，（ 22)1(? 再由得，0,22???，1?即濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 11 .)cos(arin)arcsin(???陳英飛在文[13]中介紹了不等式通過構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)來解決不等式證明.(4) 柯西施瓦茨不等式.柯西施瓦茨不等式定理若 和 是任意實(shí)數(shù),則有na,.21nb.,21，)(121221????nknknk bab）（）（此外,如果某個 ,則上式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)存在一個實(shí)數(shù) 使得對于每一個0?ia x都有 ,21????kbx 分析 在數(shù)學(xué)分析中有柯西施瓦茨不等式的證明[14],其實(shí)也可以用判別式的方法證明. 證 當(dāng) 全為零時,21 當(dāng) 不全為零時 ,令 ，???niiibxay12)( 即 ，????niniinii bxaxay12112)()( 這是關(guān)于 由于 , 恒成立,012???nia?y 所以判別式 ,即??化簡得，0)(4)2(12121 ???????nininii baba，）（）（ )(1221??niinii 等號是存在 使得 時成立 .x0?iiba,(? 例 15 已知實(shí)數(shù) , , , , ,滿足等式cde濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 12 ,8??edcba ，16222??edcba 求證.5160? 分析 這題用一般的證法比較困難,但是利用了柯西施瓦茨不等式來證明較為方便. 證 由于 2211）（）（ ?????dcbadcba)(22?）（,）（ 24c 因?yàn)? ,edcba???822216edba??? 所以 .)16(422e?）（ 解得 .5160?e可以看出,一元二次方程判別式用途廣泛,若能在解題時準(zhǔn)確的應(yīng)用,會給人簡單明快的感覺,在解題過要注意使用條件和本質(zhì),有時應(yīng)分情況討論，要避免誤用、漏,有效地構(gòu)造一個一元二次方程或二次函數(shù),使得問題簡單化,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的交叉與遷移.濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 13 3 一元三次方程判別式的應(yīng)用 一元三次方程判別式的定理文[14]中介紹了可以把一個標(biāo)準(zhǔn)的一元三次方程化為下面式子, ),(03Rqpx???其判別式記為 ，）（ 32)(D(1) 當(dāng) ,方程有一個實(shí)數(shù)根和一對共軛虛數(shù)根；0?D(2) 當(dāng) ,方程有三個實(shí)數(shù)根，且其中兩個相等；?(3) 當(dāng) ,方程有三個不相等的實(shí)數(shù)根 .?首先，我們都知道方程 的三個根可以寫為013??x,23121ix????，
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