多項(xiàng)式理論在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2025-05-22 04:00本頁面
【正文】 條件的. 解 要使上述不等式成立，只要是一個(gè)實(shí)數(shù)式的平方加上一個(gè)正數(shù),于是令則由定理5知所以當(dāng)，且時(shí)，原不等式恒成立. 例11 若為任意實(shí)數(shù)，證：直線系必經(jīng)過定點(diǎn) 證明 將上述直線系轉(zhuǎn)化成關(guān)于的恒等式此恒等式對于任意實(shí)數(shù)是恒成立的，所以由定理5知 解得 故直線系必經(jīng)過定點(diǎn)（1，2）.定理6 如果數(shù)域上有兩個(gè)次數(shù)不大于的多項(xiàng)式和，對于的個(gè)不同的值都有相等的值，那么它們恒等，即. 例12 求證其中為互不相等的復(fù)數(shù). 證明 令它是一個(gè)二次式，但當(dāng)分別以代入時(shí)有且，根據(jù)定理6，有 定理7 （拉格朗日插值恒等式）對于給定數(shù)域F里的個(gè)互不相同的數(shù)以及個(gè)不全為0的數(shù)，總有一個(gè)次數(shù)不超過的多項(xiàng)式使得且這個(gè)多項(xiàng)式可以唯一表示為 例13 求一個(gè)次多項(xiàng)式，使它在處與函數(shù)有相同的值.解 由題意得，由定理得. 例14 已知函數(shù)，滿足，那么應(yīng)滿足 解 由拉格朗日插值多項(xiàng)式有 從而 又， 5 證明一類數(shù)是無理數(shù) 在初等代數(shù)中，我們是利用有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別來證明無理數(shù)的（見證法二），然后利用艾森斯坦判斷法或待定系數(shù)法證明其在有理數(shù)域上的不可約性，說明多項(xiàng)式?jīng)]有有理根，但它又是多項(xiàng)式的根，從而得出這個(gè)數(shù)是無理數(shù). 定理8 若，是個(gè)不相同的素?cái)?shù)，而是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么是一個(gè)無理數(shù).證明 設(shè) 令 則，取素?cái)?shù)，|，但由艾森斯坦判斷法知在有理數(shù)域上不可約，故無有理根，但是的根，從而只能是無理數(shù). 例15 證明是無理數(shù). 證法1 設(shè) 令，則， .令，則，|，.故在有理數(shù)域上不可約，即無有理根，但是的根，從而 只能是無理數(shù). 證法2 設(shè)不是無理數(shù)，它必然可以寫成兩個(gè) 整數(shù)之比的形式：，再假設(shè)和沒有公因數(shù)可以約，所以可以認(rèn)為為最簡分?jǐn)?shù),，必定是偶數(shù)，設(shè)，既然和都是偶數(shù)，它們必定有公因數(shù)，. 例16 證明是無理數(shù). 證明 設(shè)令，為了能夠利用艾森斯坦判斷法，需把變形，為此令，|，|，|，由艾森斯坦判斷法知，但是的根，所以只能是無理數(shù). 例17 證明是無理數(shù). 證明 ，取，︱.由艾森斯坦判斷法知,，但是的根,所以
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