【文章內(nèi)容簡介】 步而言比較簡單，因此，學(xué)生做題時往往會在第三步感到困難，然而，即使學(xué)生經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練，能夠一步不漏正確的做下來，學(xué)生多半仍處于知其然不知所以然的處境，有不少學(xué)生心中疑問：為什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不是是代個最簡單的數(shù)字進(jìn)去看看命題對不對，這一步會有多少作用，為什么非要不可。并且用的假設(shè)命題去推的必要性。以上問題都涉及到數(shù)學(xué)歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法的巧妙之處。其實，數(shù)學(xué)歸納法的三個步驟有著十分密切的關(guān)系，三個步驟缺一不可。下面用例題來說明： 證明：所有的正整數(shù)都相等。 這個命題顯然是荒謬的，但是如果我們丟開“當(dāng)?shù)臅r候，這個命題是正確的”不管，那么可以用“數(shù)學(xué)歸納法”來“證明”它。 這里，第號命題是：“第個正整數(shù)等于第個正整數(shù)”，就是兩邊都加上，就得這就是說，第個正整數(shù)等于第個正整數(shù)，這不是說明了所有的正整數(shù)都相等了嗎？錯誤就在于，我們沒有考慮的情況。 在正自然數(shù)上都是素數(shù)。分析：當(dāng)?shù)臅r候，式子的值都是素數(shù),即使如此，我們還不能確立是任何正整數(shù)的時候，這個式子的值都是素數(shù)，事實上，只要的時候它的值就不是素數(shù)。 這也就是說，即使我們試了次，式子的值都是素數(shù)，我們?nèi)耘f不能斷定這個命題一般的正確性。 這就足夠說明了是遞推的基礎(chǔ),二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過程，它解決了從特殊值到一般的過渡。這三個步驟密切相關(guān)，缺一不可。如果只有奠基步驟，而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟的假設(shè)就失去了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。所以，用數(shù)學(xué)歸納法證題時，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應(yīng)用假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的，就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題大概有兩種類型：能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，證明這類問題時，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項，通過適當(dāng)變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中比較常見。不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，這類命題解題時，一般通過下面的兩種途徑為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件,先將代入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而得到結(jié)論；利用其它數(shù)學(xué)知識，建立與的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立，對于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的概率也是很大的。4 數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種極為有效的方法，它在證明中的應(yīng)用是十分廣泛的。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題以及矩陣問題等。 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過程中只要實現(xiàn)等式左右兩邊相等即可。下面舉例說明． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 證明：(1)當(dāng)時，左邊，右邊 ∴左邊=右邊(2)假設(shè)時，等式成立．即 當(dāng)時， ∴當(dāng)時，等式也成立。 由(1)(2)知，等式對任何都成立。 （2010江蘇卷（理科））已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。 （1）求證：是有理數(shù)； （2）求證：對任意正整數(shù)，是有理數(shù)． 證明：(1)由、為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明和都是有理數(shù)。 ①當(dāng)時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。 ②假設(shè)當(dāng)時，和都是有理數(shù)。 當(dāng)時，由 , 由①和歸納假設(shè)，知與都是有理數(shù)。 即當(dāng)時，結(jié)論成立。 綜合①、②可知，對任意正整數(shù)，是有理數(shù)。數(shù)學(xué)歸納法最簡單的應(yīng)用之一，是用來研究排列和組合的公式，通過高中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道：“從個不同的元素里，每次取個，按照一定的順序擺成一排，稱做從個元素里每次取出個元素的排列?！迸帕械姆N數(shù)，稱做排列數(shù)。從個不同的元素里每次取個元素所有不同的排列數(shù)，可以用符號來表示。對于有下面的公式： 定理1 現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明它。證明：首先，．這是顯然的．如果再能證明 ，那么，這個定理就可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明。我們假定個元素是在每次取出個元素的種排列法里，以為首的共有種，以為首的同樣也有種，由此即得 于是定理得證。4．2 證明不等式 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種．嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．對于非嚴(yán)格不等式，情況略顯復(fù)雜，在證明過程的第一步驗證中，對于“”或“”的處理，存在兩種不同的看法，一種觀點認(rèn)為：在第一步中，既要驗證“”成立，也要說明成立。只有如此，才能更充分地體現(xiàn)非嚴(yán)格不等式成立。另一種觀點認(rèn)為：在第一步中，只要證明或有一個成立，即可說明非嚴(yán)格不等式成立。從邏輯連接詞的角度，我傾向于后者。事實上，用數(shù)學(xué)歸納法證明非嚴(yán)格不等式時，是或的基礎(chǔ)。 求證： 證明：（1）當(dāng)時，不等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即那么當(dāng) 即當(dāng)時，命題成立。 根據(jù)（1）和（2），可知命題對任何都成立。 例 求證： 證明：（1）當(dāng)時，左邊==右邊 ∴不等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即 令 那么當(dāng)時，令 則有 ∴ 由歸納假設(shè)知，則 即當(dāng)時，命題成立。 根據(jù)（1）和（2），可知命題對任何都成立。 有時候，我們要證明的不等式無法直接運(yùn)用歸納法解決，這時，我們則考慮將不等式加強(qiáng)以便運(yùn)用歸納法。而不等式加強(qiáng)的形式是多樣的，其中規(guī)律有法可循——根據(jù)要證不等式的形式進(jìn)行構(gòu)造。 若不等式對一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明你的結(jié)論。解：取，令，得，而， 所以取，下面用數(shù)學(xué)歸