【正文】 綜合（1）、（2）知原命題成立。上例假設(shè)是為正整數(shù)，而我們第一步驗(yàn)證，這時(shí)命題顯然成立，這比直接驗(yàn)證要容易的多。并且這樣選擇的“起點(diǎn)”并不影響后面的遞推步，在這種情形下是允許這樣做的。 試證：對(duì)一切自然數(shù)，都有。 分析：不妨先看看第二步， 假設(shè)時(shí)，有?！?由于，欲使上式大于0，必有，即k34。這說明要完成歸納遞推，必須從4開始。因而起點(diǎn)也必須從“后挪”至。此時(shí)第一步就應(yīng)該是：當(dāng)時(shí)，（經(jīng)驗(yàn)證）命題都成立。這里運(yùn)用了“起點(diǎn)后挪”的技巧[7]。 恰當(dāng)選取“跨度”在歸納中，有時(shí)采用較大的跨度更為方便，就可以改變跨度，不過應(yīng)注意隨之而起點(diǎn)增多。 試證：任意大于7的自然數(shù)均可表為若干個(gè)3與若干個(gè)5之和（若干個(gè)包括零個(gè)）。證明：（1）當(dāng)=8，9,10時(shí)，命題成立，由8=5+3,9=3+3+3,10=5+3知命題成立。（2） 假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，只需再加一個(gè)3即可，顯然成立。綜合（1）、（2），起點(diǎn)驗(yàn)證也需要三個(gè)。 求證對(duì)一切自然數(shù)，不定方程都有正整數(shù)解。證明：當(dāng)時(shí)，??；當(dāng)，取，故知命題在和2時(shí)成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，就有，命題也成立。則對(duì)一切自然數(shù)不定方程都有正整數(shù)解。對(duì)上述兩個(gè)例題，如果硬性規(guī)定跨度為1，則作繭自縛，而通過加大跳躍跨度，則大大降低了歸納難度[6]。 選取合適的假設(shè)方式同“起點(diǎn)”和“跨度”一樣，歸納法的假設(shè)也可以是“因勢(shì)而異”的，不一定非要拘泥于“假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立”不可。事實(shí)上，“”往往可以用“”或“，”等等來代替。 以“假設(shè)時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立” 設(shè)數(shù)列{}滿足關(guān)系式：（1），（2），試證數(shù)列的通項(xiàng)公式為。（加拿大數(shù)學(xué)競賽試題）分析：顯然滿足通項(xiàng)公式，但因，與，…，都有關(guān)，如果仍設(shè)，就顯得不夠用了。按如果改設(shè)“對(duì)一切，都有”，問題即可解決，因?yàn)橛? 即可知也滿足通項(xiàng)公式。在上面的論證中，僅僅改變了假設(shè)的方式，而這種改變并未造成邏輯上的不合理，相反卻有利歸納過渡，因而是十分可取的。 以“假設(shè)，時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立” 有時(shí)也會(huì)碰到一些問題，它們的歸納需要依賴于前面兩個(gè)命題同時(shí)成立，這時(shí)就應(yīng)當(dāng)用“假設(shè)，時(shí)成立”來代替通常的“假設(shè)時(shí)成立”，不過這樣一來，起點(diǎn)也應(yīng)增多為兩個(gè)，否則，后面所作的假設(shè)就變得沒有依據(jù)，整個(gè)論證也就變得不可信了。 設(shè)與是方程的兩個(gè)根，試證對(duì)任何自然數(shù)，都是整數(shù)，但不是5的倍數(shù)。證明：為了便于使用歸納法，：，因而就有 故知 ，即有 . 又當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，故知當(dāng)與2時(shí)，都是整數(shù)且不為5的倍數(shù)，現(xiàn)假設(shè)，時(shí)，也都是整數(shù)，于是由遞推關(guān)系式 知當(dāng)時(shí)，都是整數(shù)。為證都不是5的倍數(shù)，以記其被5除所得的余數(shù)，于是由已證部分知，且由遞推公式知。再證{}是一個(gè)循環(huán)數(shù)列，循環(huán)節(jié)是6。事實(shí)上，我們有 于是有 從而知{}： 它們都不為0，這樣我們就證明了對(duì)一切自然數(shù)，都不是5的倍數(shù)。在本例論證的前一部分——是整數(shù)中，就采用了“與時(shí)，是整數(shù)”的假設(shè)形式，以便于利用遞推公式順利進(jìn)行完成歸納過渡。這種假設(shè)形式。7 數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用數(shù)學(xué)歸納法在討論涉及正數(shù)無限性的問題時(shí)，是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它的地位和作用可以從以下三個(gè)方面來看：（1）中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式、二項(xiàng)公式定理等都可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們也常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明它們的正確性。（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)問題，如與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、一些整除問題、一些幾何問題等，既可以開闊眼界，又可以受到推理論證的訓(xùn)練。對(duì)于一些用常規(guī)的分析綜合法不容易證明的題，用數(shù)學(xué)歸納法往往會(huì)得到一些意想不到的好結(jié)果。（3）數(shù)學(xué)歸納法在進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)會(huì)經(jīng)常用到，因此掌握這種方法可以為今后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。致 謝 經(jīng)過了數(shù)月的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，此時(shí)，我的心情常激動(dòng)。雖然，本論文還有許多不足之處，但這也是我?guī)讉€(gè)月來努力的成果，以及我的導(dǎo)師曹慧老師對(duì)我孜孜不倦的指導(dǎo)。記得在剛剛確定論文課題的開始，導(dǎo)師就很耐心地幫助我，比個(gè)根據(jù)對(duì)我自身的特點(diǎn)給了我?guī)讉€(gè)比較合適的課題；還有在撰寫論文的過程中，老師也是隨時(shí)地提醒我要注意論文撰寫的進(jìn)度以及一些相關(guān)要求。所以，這篇論文并不僅僅是我個(gè)人的勞動(dòng)成果，假如沒有導(dǎo)師的指導(dǎo)和支持，我的畢業(yè)論文肯定完成得不是那么順利。所以，我要發(fā)自肺腑地感謝我的導(dǎo)師，感謝她這幾個(gè)月來的辛勤知道和陪伴！ 還有我敬愛的老師們，在我大學(xué)四年的學(xué)習(xí)生活中，你們的諄諄教誨時(shí)時(shí)刻刻激勵(lì)著我，我之所以能夠很好地學(xué)到科學(xué)文化知識(shí)，全得益于你們的樂于奉獻(xiàn)，所以在此，也要對(duì)你們說聲謝謝！再者，還有我親愛的同學(xué)們，我的生活因?yàn)橛心銈兊呐惆槎辉倏菰锓ξ?，你們給我?guī)砹颂嗝篮玫幕貞?，這些回憶值得我永遠(yuǎn)珍藏，所以也要謝謝你們！最后，我要感謝我的家人，有了你們的鼓勵(lì)和支持，我才能夠義無返顧的努力向前，我才能夠順利地完成學(xué)校，在此道一聲：謝謝你們！還要感謝在百忙之中抽出時(shí)間參加我們畢業(yè)論文答辯的老師，你們辛苦了！ 參考文獻(xiàn)[1][M].長沙：中南大學(xué)出版社，2002:179204.[2][M].重慶：重慶大學(xué)出版社，1995:215223.[3]黃忠裕．中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法專題選講．成都：四川大學(xué)出版社．.[4], 2008(03),238239 .[5]張莉,(自然科學(xué)版),1999(02),102106.[6]：內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2008(10),1112.[7]蘇淳．漫話數(shù)學(xué)歸納法．合肥．中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社．2001:12127.