23數(shù)學(xué)歸納法1-資料下載頁(yè)
2025-08-23 15:13本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】問(wèn)題3：某人看到樹(shù)上烏鴉是黑的，深有感觸地說(shuō)全世界的烏鴉都是黑的。驗(yàn)證前一問(wèn)題與后一問(wèn)題有遞推關(guān)系；如何解決不完全歸納法存在的問(wèn)題呢？如何保證骨牌一一倒下？與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎?你能類(lèi)比多米諾骨。即n=k+1時(shí)猜想也成立.當(dāng)n＝1時(shí)，左邊所得項(xiàng)是；步驟,兩個(gè)步驟缺一不可.第一步應(yīng)做什么?本題的n0應(yīng)取多少?在證傳遞性時(shí)，假設(shè)什么？推理變形為1+3+5十…由①和②可知，對(duì)n∈N，原等式都成立。
【正文】 (1)當(dāng) n＝ 1時(shí)，左邊＝ 1，右邊＝ 1，等式成立 12)1()2(3)1(21 ???????????????? nnnnn (2)設(shè)當(dāng) n＝ k,時(shí)等式成立，即 )2)(1(61)( ??? kkkkf則 n=k+1時(shí)， f(k+1)=1(k+1)+2[(k+1)1]+3[(k+1)2]+…… +[(k+1)2]3+[(k+1)1]2+(k+1) =f(k)+1+2+3+……+k+(k+1) )3)(2)(1(61)11)(1(21)2)(1(61???????????kkkkkkkk∴ 由（ 1）（ 2）可知當(dāng) n∈ N*時(shí)等式都成立。 例 求證 :(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ? 1? 3?… ?(2n1) 證明：① n=1時(shí)：左邊 =1+1=2，右邊 =21?1=2，左邊 =右邊，等 式成立。 ② 假設(shè)當(dāng) n=k((k∈N ）時(shí)有： (k+1)(k+2)… (k+k)=2k? 1? 3?…? (2n1), 當(dāng) n=k+1時(shí)： 左邊 =(k+2)(k+3)… (k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)… (k+k)? = 2k? 1? 3?…? (2k1)(2k+1)?2 = 2k+1?1? 3?…? (2k1) ?[2(k+1)1]=右邊， ∴ 當(dāng) n=k+1時(shí)等式也成立。 由 ①、②可知，對(duì)一切 n∈N , 原等式均成立。 ? （ 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 )k + 1? 學(xué)命題的重要方法 .主要有兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論 : 【 歸納奠基 】 （ 1）證明當(dāng) n取第一個(gè)值 n0（如 n0=1或 2等）時(shí)結(jié)論正確 （ 2）假設(shè) n=k時(shí)結(jié)論正確，證明 n=k+1時(shí)結(jié)論也正確 （ 3）由（ 1）、（ 2）得出結(jié)論 【 歸納遞推 】 找準(zhǔn)起點(diǎn) 奠基要穩(wěn) 用上假設(shè) 遞推才真 寫(xiě)明結(jié)論 才算完整 歸納小結(jié) 作業(yè) :
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