新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-223數(shù)學(xué)歸納法-資料下載頁
2025-11-08 17:34本頁面
【導(dǎo)讀】了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)。歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。結(jié)論的推理方法，叫歸納法。驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立,有正整數(shù)n都成立。步驟,兩個(gè)步驟缺一不可.證明：①n=1時(shí)：左邊=1+1=2，右邊=21?由①、②可知，對(duì)一切n∈N,原等式均成立。的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.解:令n=1,2,并整理得.當(dāng)n=1時(shí),由上面解法知結(jié)論正確.
【正文】 ==4 k + 6 4 ( k +.1 ) + 2故當(dāng) n=k+1時(shí) ,結(jié)論也正確 . 根據(jù) (1)、 (2)知 ,對(duì)一切正整數(shù) n,結(jié)論正確 . (1)當(dāng) n=1時(shí) ,由上面解法知結(jié)論正確 . 例 :比較 2n 與 n2 (n∈ N*)的大小 注： 先猜想，再證明 解：當(dāng) n=1時(shí)， 2n=2,n2=1, 2nn2 當(dāng) n=2時(shí)， 2n=4,n2=4, 2n=n2 當(dāng) n=3時(shí)， 2n=8,n2=9, 2nn2 當(dāng) n=4時(shí)， 2n=16,n2=16, 2n=n2 當(dāng) n=5時(shí)， 2n=32,n2=25, 2nn2 當(dāng) n=6時(shí)， 2n=64,n2=36, 2nn2 猜想 當(dāng) n≥ 5時(shí)， 2nn2(證明略 ) 例 :平面內(nèi)有 n條直線 ,其中任何兩條不平行 ,任何三條不過同一點(diǎn) ,證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=n(n1)/2. 說明 :用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 ,重難點(diǎn)是處理好當(dāng) n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立 . 注 :在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論 : (1)設(shè)這 n條直線互相分割成 f(n)條線段或射線 , 則 : f(n)=n2. (2)這 n條直線把平面分成 (n2+n+2)/2個(gè)區(qū)域 . １ :平面內(nèi)有 n條直線 ,其中任何兩條不平行 ,任何三條不過同一點(diǎn) , 證明這 n條直線把平面分成 f(n)＝ (n2+n+2)/2個(gè)區(qū)域 . 作業(yè)：Ｐ １０８ Ａ組３ 22*2 . 是否存在常數(shù)a 、b 、c 使得等式1 2 + 2 3 + + n ( n + 1 ) 對(duì)一切n ∈N 都成立，并證明你的結(jié)論。1:n邊形有 f(n)條對(duì)角線 ,則凸 n+1邊形的對(duì)角線 的條數(shù) f(n+1)=f(n)+_________. 2:設(shè)有通過一點(diǎn)的 k個(gè)平面 ,其中任何三個(gè)平面或 三個(gè)以上的平面不共有一條直線 ,這 k個(gè)平面將 空間分成 f(k)個(gè)區(qū)域 ,則 k+1個(gè)平面將空間分成 f(k+1)=f(k)+__________個(gè)區(qū)域 . 思考題
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