蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-223數(shù)學(xué)歸納法同步測試題-資料下載頁
2024-12-05 03:04本頁面
【導(dǎo)讀】N，≤≥時正確，再推證2nk??4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“221111nnaaaaaa??????????”6．用數(shù)學(xué)歸納法證明()213()nnnnnnn???????用含有()fk的式子表示為．。11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：22389()nnn?????，能被64整除，命題成立．。時不等式成立，即11112. ，先計算數(shù)列的前4項，后猜想na并證明之．。也成立，又若()pn對2n?4．凸n邊形有()fn條對角線，則凸1n?左邊，等式成立．
【正文】 )aq k qa q a k a q? ? ? ? ? ? ? 2( 1)( 1) 0a k q? ? ? ?， 11kkba????． 即當(dāng) 1nk??時，猜想也成立． 由（ 1）和（ 2）可知，對 3n≥ ， n ??N ，均有 nnba? 成立． 2． 設(shè) 1 1 1( ) 123fn n? ? ? ? ?，是否存在 ()gn 使等式( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( ) ( ) ( )f f f n g n f n g n? ? ? ? ? ?對 2n≥ 的一切自然數(shù)都成立， 并證明你的結(jié)論． 解： (1) 1f ? ， 1(2) 1 2f ?? ， 11(3) 1 23f ? ? ? ， 由 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( ) ( ) ( )f f f n g n f n g n? ? ? ? ? ?， 得當(dāng) 2n? 時， (1) ( 2) ( 2) ( 2)f g f g??，可得 (2) 2g ? ． 當(dāng) 3n? 時， (1 ) ( 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )f f g f g? ? ?，得 (3) 3g ? ． 猜想： ()gn n? ． 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 2n? 時，已驗證成立． 假設(shè) nk? （ 2k≥ ， k ??N ）時成立，即 ()gk k? ， 且有 (1 ) ( 2) ( 1 ) [ ( ) 1 ]f f f k k f k? ? ? ? ? ?成立． 則當(dāng) 1nk??時， ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( ) [ ( ) 1 ] ( ) ( 1 ) ( )f f f k f k k f k f k k f k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1( 1 ) ( 1 ) 1k f k kk??? ? ? ? ?????? ( 1) ( 1) ( 1)k f k k? ? ? ? ?． 即當(dāng) 1nk??時成立． 綜上可知， ()gn n? 使等式 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( ) ( ) ( )f f f n g n f n g n? ? ? ? ? ?對 2n≥ 的一切自然數(shù)都成立． 3．求證： n 棱柱中過側(cè)棱的對角面 的個數(shù)是 1( ) ( 3)2f n n n??． 證明：（ 1）當(dāng) 4n? 時，四棱柱有 2 個對角面： 1 4 (4 3) 22 ? ? ? ?，命題成立． （ 2）假設(shè) nk? （ 4k≥ ， k ??N ）時，命題成立，即符合條件的棱柱的對角面有1( ) ( 3)2f k k k??個． 現(xiàn)在考慮 1nk??時的情形． 第 1k? 條棱 11kkAB??與其余和它不相鄰的 2k? 條棱分別增加了 1 個對角共 2k? 個，而面11kkABBA 變成了對角面．因此對角面的個 數(shù)變?yōu)椋? 1( ) ( 2 ) 1 ( 3 ) 12f k k k k k? ? ? ? ? ? ?11( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) 3 ]22k k k k? ? ? ? ? ? ?， 即 1( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) 3 ]2f k k k? ? ? ? ?成立． 由（ 1）和（ 2）可知，對任何 4n≥ ， n ??N ，命題成立．
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