人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè)-資料下載頁
2024-12-03 11:27本頁面
【導(dǎo)讀】1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋q＋q2＋?[解析]左邊＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋C.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)?＋12n>1314的過程中，由n＝k遞推到?！嘣黾恿?2k＋1＋12k＋2，減少了一項1k＋1.個交點，故交點個數(shù)為f＋k.[解析]由命題及其逆否命題的等價性知選A.6．等式12＋22＋32＋?∴當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上＋＋＋?[解析]因為從n＝k到n＝k＋1的過渡，增加了(k＋3)3，減少了k3，故利用歸納假設(shè)，9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋?＋2n－1＝2n－1(n. ＋25n－1是31的倍數(shù)時，當(dāng)n＝1. 根據(jù)和，可知結(jié)論正確.n＝k＋1時左式＝(k＋2)(k＋3)?2．已知數(shù)列{an}，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1，用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4. [解析]在數(shù)列{a4n}中，相鄰兩項下標(biāo)差為4，所以a4k后一項為a4k＋D.[解析]多邊形的邊數(shù)最少是3，即三角形，∴第一步驗證n等于3.5．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時，當(dāng)n＝k時，表達(dá)式為1×4＋2×7＋?
【正文】 k＋k＋ 12 . 三、解答題 8．在數(shù)列 {an}中， a1＝ a2＝ 1，當(dāng) n∈ N*時，滿足 an＋ 2＝ an＋ 1＋ an，且設(shè) bn＝ a4n，求證： {bn}的各項均為 3的倍數(shù)． [證明 ] (1)∵ a1＝ a2＝ 1， 故 a3＝ a1＋ a2＝ 2， a4＝ a3＋ a2＝ 3. ∴ b1＝ a4＝ 3，當(dāng) n＝ 1時， b1能被 3整除． (2)假設(shè) n＝ k時，即 bk＝ a4k是 3的倍數(shù)． 則 n＝ k＋ 1時， bk＋ 1＝ a4(k＋ 1)＝ a(4k＋ 4)＝ a4k＋ 3＋ a4k＋ 2 ＝ a4k＋ 2＋ a4k＋ 1＋ a4k＋ 1＋ a4k＝ 3a4k＋ 1＋ 2a4k. 由歸納假設(shè)， a4k是 3的倍數(shù)，故可知 bk＋ 1是 3的倍數(shù)． ∴ n＝ k＋ 1時命題正確． 綜合 (1)、 (2)可知，對于任意正整數(shù) n，數(shù)列 {bn}的各項都是 3的倍數(shù)． 9．若不等式 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ 1n＋ 3＋ ? ＋ 13n＋ 1a24對一切正整數(shù) n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明你的結(jié)論． [解析 ] 取 n＝ 1， 11＋ 1＋ 11＋ 2＋ 131 ＋ 1＝ 2624， 令 2624a24，得 a26，且 a∈ N＋ . ∴ 取 a＝ ： 1n＋ 1＋1n＋ 2＋ ? ＋13n＋ 12524. ① n＝ 1時，結(jié)論已證． ② 假設(shè) n＝ k(k∈ N＋ )時， 1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ ? ＋ 13k＋ 12524，則當(dāng) n＝ k＋ 1時，有 1k＋ ＋ 1＋ 1k＋ ＋ 2＋ ? ＋ 13k＋ 1＋13k＋ 2＋13k＋ 3＋1k＋ ＋ 1 ＝ ( 1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ ? ＋ 13k＋ 1)＋ ( 13k＋ 2＋ 13k＋ 3＋ 13k＋ 4－ 1k＋ 1)2524＋ [ 13k＋ 2＋ 13k＋ 4－2k＋ ]． ∵ 13k＋ 2＋ 13k＋ 4＝ k＋9k2＋ 18k＋ 8 2k＋ ， ∴ 13k＋ 2＋ 13k＋ 4－ 2k＋ 0. ∴ 1k＋ ＋ 1＋ 1k＋ ＋ 2＋ ? ＋ 1k＋ ＋ 12524， 即 n＝ k＋ 1時，結(jié)論也成立． 由 ①② 可知，對一切 n∈ N＋ ，都有 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ ? ＋ 13n＋ 12524. 故 a的最大值為 25.
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