【導(dǎo)讀】的右焦點到直線33yx?2．語句甲：動點P到兩定點A，B的距離之和2PAPBa??，且a為常數(shù))；語。有相同焦點的橢圓的方程是（）。4．設(shè)P是橢圓2211612xy??．現(xiàn)有一個橢圓，其中心在坐標(biāo)原點，6．Fc，是橢圓221xyabab????，則點M的軌跡方程是．。的離心率為12，則m等于．。，它的兩個焦點分別為12FF，，且128FF?兩圓內(nèi)切，即以1PF為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相切．。，，C，且三邊AC、BC、AB. 的取值范圍是（）。4．已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP?的中點M的軌跡是（）。上的點，12FF，是兩個焦點，則12PFPF的最大值與最小值之差。的左焦點是FAB，，分別是左頂點和上頂點，若F. 11．12FF，為橢圓22143xy??

　　

【正文】 到． 即當(dāng) PM 取得最小值 時， P 在點 12BB， 或 1A 處． （ 3） |||| 21 MAMA ?? ，且 1B 和 2B 同時位于“果圓”的半橢圓 22 1 ( 0 )xy xab?? ≥和半橢圓 22 1 ( 0 )yx xbc?? ≤上，所以，由（ 2）知，只需研究 P 位于“果圓”的半橢圓221 ( 0)xy xab?? ≥ 上的情形即可． 2222|| ycaxPM ??????? ??? 22222222224 )(4 )(2 )( c caacabc caaxac ??????????? ???． 當(dāng) 22()2a a cxac?? ≤，即 2ac≤ 時， 2||PM 的最小值在22 2 )( c caax ?? 時取到， 此時 P 的橫坐標(biāo)是222 )(c caa ? ． 當(dāng) ac caax ???22 2 )( ，即 ca 2? 時，由于 2||PM 在 ax? 時是遞減的， 2||PM 的最小值在 ax? 時取到，此時 P 的橫坐標(biāo)是 a ． 綜上所述，若 2ac≤ ，當(dāng) || PM 取得最小值時，點 P 的橫坐標(biāo)是222 )(c caa ? ；若 ca 2? ，當(dāng) ||PM 取得最小值時，點 P 的橫坐標(biāo)是 a 或 c? ． 第 20 題 .設(shè) 1F 、 2F 分別是橢圓 2 2 14x y??的左、右焦點． （Ⅰ）若 P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點， 且12 54PF PF? ??，求點 P 的作標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)過定點 (0,2)M 的直線 l 與橢圓交于同的兩點 A 、 B ，且 AOB? 為銳角（其中 O 為作標(biāo)原點），求直線 l 的斜率 k 的取值范圍． 答案：解析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力． （Ⅰ）易知 2a? ， 1b? ， 3c? ． ∴ 1( 3,0)F ? ， 2( 3,0)F ．設(shè) ( , )Pxy ( 0, 0)xy??．則 2212 5( 3 , ) ( 3 , ) 3 4P F P F x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，又 2 2 14x y??， 聯(lián)立22227414xyx y? ?????? ????，解得 22113 34 2xxy y??? ??????? ?? ?， 3(1, )2P ． （Ⅱ）顯然 0x? 不滿足題設(shè)條件．可設(shè) l 的方程為 2y kx??，設(shè) 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ． 聯(lián)立 2 2 2 2 2 21 4( 2) 4 ( 1 4 ) 16 12 042x yx k x k x k xy k x? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ∴12 21214xx k? ?，12 21614kxx k? ? ? ? 由 22(16 ) 4 (1 4 ) 12 0kk? ? ? ? ? ? ? 2216 3(1 4 ) 0kk? ? ?， 24 3 0k ?? ，得 2 34k ? ．① 又 AOB? 為銳角 c os 0 0A O B O A O B? ? ? ? ? ?， ∴ 1 2 1 2 0O A O B x x y y? ? ? ? 又 21 2 1 2 1 2 1 2( 2) ( 2) 2 ( ) 4y y k x k x k x x k x x? ? ? ? ? ? ? ∴ 1 2 1 2xx y y? 2 1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k x x k x x? ? ? ? ? 2 221 2 1 6(1 ) 2 ( ) 41 4 1 4kkkkk? ? ? ? ? ? ??? 2221 2 (1 ) 2 1 6 41 4 1 4k k kkk??? ? ??? 224(4 ) 014kk???? ∴ 21 44 k? ? ? ．② 綜①②可知 23 44 k??，∴ k 的取值范圍是 33( 2, ) ( , 2 )22?? 第 21 題 .設(shè)橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦點分別為 12F F A， ， 是橢圓上的一點， 2 1 2AF FF? ，原點 O 到直線 1AF 的距離為 113OF ． （ Ⅰ ）證明 2ab? ； （ Ⅱ ）求 (0 )tb? ， 使得下述命題成立：設(shè)圓 2 2 2xyt??上任意點 00()M x y， 處的切線交橢圓于 1Q ， 2Q 兩點，則 12OQ OQ? ． 答案： （ Ⅰ ）證法一：由題設(shè) 2 1 2AF FF? 及 1( 0)Fc?， ， 2( 0)Fc， ，不妨設(shè)點 ()Ac y， ，其中 0y? ，由于點 A 在橢圓上，有 221cyab??， 2 2 2221a b yab? ??， 解得 2by a? ，從而得到 2bAca??????， 直線 2AF 的方程為 2 ()2by x cac??，整理得 2220b x ac y b c? ? ?． 由題設(shè)，原點 O 到直線 1AF 的距離為113OF，即 24 2 23 4c b cb a c? ? ， 將 2 2 2c a b??代入原式并化簡得 222ab? ，即 2ab? ． 證法二：同證法一，得到點 A 的坐標(biāo)為 2bca??????， 過點 O 作 1OB AF? ，垂足為 H ，易知 1 1 2F BC F F A△ ∽ △ ，故 211BO F AOF F A? 由橢圓定義得 122AF AF a??，又113BO OF?，所 以 2212132F A F AF A a F A?? ?， A O 1F 2F H x y 解得2 2aFA?，而 22 bFA a?，得 22baa?，即 2ab? ． （ Ⅱ ）解法一：圓 2 2 2xyt??上的任意點 00()M x y， 處的切線方程為 200x x y y t??． 當(dāng) (0 )tb? ， 時，圓 2 2 2xyt??上的任意點都在橢圓內(nèi)，故此圓在點 A 處的切線必交橢圓于兩個不同的點 1Q 和 2Q ，因此點 1 1 1()Q x y， ， 2 2 2()Q x y， 的坐標(biāo)是方程組 2002 2 222x x y y txyb? ???????? ① ②的解．當(dāng) 0 0y? 時，由 ① 式得 2 00t x xy y?? 代入 ② 式，得 22220022t x xxby?????????，即 2 2 2 2 4 2 20 0 0 0( 2 ) 4 2 2 0x y x t x x t b y? ? ? ? ?， 于是 2 012 220202 txxx xy?? ?， 4 2 2012 2202022t b yxx xy?? ? 2 201 1212 t x x t x xyy yy? ?? 4 2 20 1 2 0 1 2201 ()t x t x x x x xy ??? ? ? ??? 2 4 2 24 2 200002 2 2 2 20 0 0 0 04 2 21 22t x t b yt x t xy x y x y?? ?? ? ??????? 4 2 20220202t b xxy?? ?． 若 12OQ OQ? ，則 4 2 2 4 2 2 4 2 2 20 0 0 01 2 1 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 3 2 ( ) 02 2 2t b y t b x t b x yx x y y x y x y x y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?． 所以， 4 2 2 2020 2 ( ) 0t b x y? ? ?．由 2 2 200xyt??，得 4 2 23 2 0t b t??．在區(qū)間 (0 )b， 內(nèi)此方程的解為 63tb? ． 當(dāng) 0 0y? 時，必有 0 0x? ，同理求得在區(qū)間 (0 )b， 內(nèi)的解為 63tb?． 另一方面，當(dāng) 63tb? 時，可推出 1 2 1 2 0x x y y??，從而 12OQ OQ? ． 綜上所述， 6 (0 )3t b b??， 使得所述命題成立．