蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)23第1課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法同步檢測-資料下載頁
2024-12-04 20:00本頁面
【導(dǎo)讀】一個(gè)能使2n>n2＋1的n值為5.解析由于n＝1代入12n＋1得13，所以f的右端為從1加到13.3．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)·?·，從“k到k＋1”。解析當(dāng)n＝k時(shí)左端為(k＋1)(k＋2)?＋1＋k－1)，即(k＋2)(k＋3)?觀察比較它們的變化知增乘了?5．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式，當(dāng)n＝k時(shí)，表達(dá)式為1×4＋2×7＋?＋k＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)2. 7．記凸k邊形的內(nèi)角和為f，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f＋________.解析由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形圖形，故f(k＋1)＝f＋π.8．等式12＋22＋32＋?9．命題P滿足：若n＝k成立，則n＝k＋1成立，下面說法正確的是________(只。n＝3時(shí)，頂點(diǎn)共有30＝5×6(個(gè))，故第n個(gè)圖形共有頂點(diǎn)(n＋2)(n＋3)個(gè)，11．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋32＋52＋?證明當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12，右邊＝13×1×＝1，解由題給的表達(dá)式，猜測一般結(jié)論為n＋(n＋1)＋?13．設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝12????∴a23＋22a3－1＝0，解得a3＝3－2.
【正文】 － 1]2＝ (2k＋ 1)2，左邊＝右邊． 故 n＝ k＋ 1 時(shí)，命題也成立．由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立． 13． (創(chuàng)新拓展 )設(shè)正數(shù)數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 Sn＝ 12?? ??an＋ 1an，試推測出 an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 解 ∵ S1＝ a1， ∴ a1＝ 12?? ??a1＋ 1a1，解得正數(shù) a1＝ 1. ∵ a1＋ a2＝ S2＝ 12?? ??a2＋ 1a2， ∴ 2＋ a2＝ 1a2，即 a22＋ 2a2－ 1＝ 0. 解得 a2＝ 2－ 1. ∵ S2＋ a3＝ S3，即 2＋ a3＝ 12?? ??a3＋ 1a3， ∴ a23＋ 2 2a3－ 1＝ 0，解得 a3＝ 3－ 2. 觀察 a1＝ 1， a2＝ 2－ 1， a3＝ 3－ 2， 猜想 an＝ n－ n－ 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： (1)當(dāng) n＝ 1 時(shí)，由以上知猜想成立． (2)假設(shè) 當(dāng) n＝ k(k∈ N*)時(shí)，猜想成立，即 ak＝ k－ k－ 1. 由 Sk＋ ak＋ 1＝ Sk＋ 1，有 12?? ??ak＋ 1ak＋ ak＋ 1＝ 12?? ??ak＋ 1＋ 1ak＋ 1， 即 12??? ???k－ k－ 1＋ 1k－ k－ 1 ＋ ak＋ 1 ＝ 12?? ??ak＋ 1＋ 1ak＋ 1，亦即 2 k＋ ak＋ 1＝ 1ak＋ 1， a2k＋ 1＋ 2 kak＋ 1－ 1＝ 0， 解得正數(shù) ak＋ 1＝ k＋ 1－ k. 即當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，猜想式也成立． 根據(jù) (1)(2)可知 an＝ n－ n－ 1， n∈ N*.
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