巧用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式-資料下載頁(yè)
2024-11-06 00:31本頁(yè)面
【正文】 （1969－），女，廣西金秀人，講師，： 李金繼（1963－），男，廣西靈川人，靈川化肥廠(chǎng).x=q1x1+q2x2，過(guò)點(diǎn)x作ox軸的垂線(xiàn)交函數(shù)于A，交A1A2于B，則（2）式左端即為A點(diǎn)縱坐標(biāo)，右端即為B點(diǎn)縱坐標(biāo)，因此，凸函數(shù)的幾何意義就是：，下面推導(dǎo)一個(gè)關(guān)于凸函數(shù)的直接不等式，設(shè)y=f(x)為函數(shù)，A1A2為f(x)上的任一弦，設(shè)A1(x1,f(x1)),A2(x2,f(x2)，不妨設(shè)x1x2，則直線(xiàn) A1A2的方程為y=f(x1)+f(x2)f(x1)(xx1),x206。(x1,x2)x2x1從而由上所述凸函數(shù)幾何性質(zhì)有f(x1)+f(x2)f(x1)(xx1)163。f(x),x206。(x1,x2)……（3）x2x13． 凸函數(shù)的判斷凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則在一般教材均有述及，下面是[4]中的一個(gè)判別凸函數(shù)準(zhǔn)則： 定理 設(shè)f(x)在(a,b)上二階可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)上是凸函數(shù)的充要條件是f162。162。(x)179。0下面我們將從不等式（2）、（3）出發(fā)，適當(dāng)選取q1,q2,x1,． 等式（2）的應(yīng)用不等式（2）是凸函數(shù)定義的一個(gè)等價(jià)形式，所以不等式（2）的應(yīng)用實(shí)際上是凸函數(shù)定義的直接應(yīng)用，（2）式的一個(gè)直接結(jié)果是出詹生（Jenson）(x)在區(qū)間I 是凸的，則有不等式f(q1x1+q2x2+L+qnxn)163。q1f(x1)+q2f(x2)+L+qnf(xn)LL(4)其中xi206。I,qi0,i=1,2,L,n,且q1+q2+L+qn=1，其證明可參見(jiàn)[3]，（2）及（4）式中，適當(dāng)選取f(x)的表達(dá)式，+x2+L+xn230。x+x2+L+xn246。例1． 證明不等式231。1其中 247。163。1nn232。248。q1179。1。x1,x2,Lxn179。：設(shè)f(x)=x,x0,則f39。39。(x)=p(p1)xpp2pppp，由條件可知f39。39。(x)179。(x)==q2=L=qn=p1，再由Jenson不等式（4）有 npppx+x2+L+xn230。x1+x2+L+xn246。231。 247。163。1nn232。248。例2．證明不等式(x+y)lnx+y163。xlnx+ylnyx,y10,x：取f(x)=xlnx，x39。(x)=lnx+1，f39。39。(x)= 2x+yx+yln163。xlnx+ylny即有 22x+y(x+y)ln163。xlnx+ylny2三． 不等式（3）的應(yīng)用 n=2,q1=q2=不等式（3）是由凸函數(shù)的幾何特征得到的，要得到所要證的不等式，需據(jù)所給出的不等式形式適當(dāng)選取x1,x2的值，所以這種方法具有一定的構(gòu)造性，靈活性，． 證明楊格（young）不等式：apbq11ab+,a,b0,+=證明：取f(x)=，直線(xiàn)AB的方程為ylnx1=lnx2lnx1(xx1)，取x=p39。x1+(1p39。)x2206。(x1,x2),p39。206。(0,1)則 x2x1lnx2lnx1((p39。1)x1+(1p39。)x2)=p39。lnx1+(1p39。)lnx2 x2x1pqy=lnx1+如取x1=a,x2=b,p39。=111,1p39。=1=.ppq由（3）式ln(1p1q11a+b)lnap+lnbqpqpqln(1p1qa+b)又因?yàn)閘nx在定義域上為嚴(yán)格增函數(shù)，所以有1p1qa+a+bnan+bn)163。,a,b0 例4 證明不等式(22證明：此例是例1的特例，下面用不等式（3）=f(x)=x,x0,則f(x)為凸函數(shù)，由（3）式有 nf(x)f(x1)+f(x2)f(x1)ab11(xx1),取x1=,x2=,x=(x1+x2)=x2x1a+ba+b22從而有bnan)+()1nan1a()()+()，化簡(jiǎn)后得： ba2a+b2a+ba+ba+ba+bn1n()163。(a+bn).22（結(jié)語(yǔ)：綜上所述，利用凸函數(shù)定義及幾何特性證明不等式，關(guān)鍵是要根據(jù)所要證不等式，選取相關(guān)的函數(shù)及適當(dāng)?shù)膞1,x2選取，此法雖具有一定的構(gòu)造性，：[1].梁永固，等，初等代數(shù)研究，廣東高等教育出版社，1989[2].紀(jì)樂(lè)剛，等，數(shù)學(xué)分析，華東師范大學(xué)出版社，1993[3].劉玉璉，等，數(shù)學(xué)分析講義，高等教育出版社，1996[4].朱來(lái)義，等，微積分，高等教育出版社，2000
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