巧用二元均值不等式證明一組優(yōu)美不等式-資料下載頁
2024-11-05 23:06本頁面
【正文】 例1設(shè)aa…、an均為正，記y(n)=n（a1+a2+L+anna1a2Lan)試證：y(n)179。y(n1)，并求等號成立的條件．證明由所設(shè)條件，得y(n)y(n1)=n（a1+a2+L+annna1a2Lan)(n1)（a1+a2+Lan1n1n1a1a2Lan1)=a1+a2+L+annna1a2Lan(a1+a2+L+an1)+(n1)n1a1a2Lan=1=an+(n1)(a1a2Lan1)n1n(a1a2Lan)n，n1+L+(a1a2Lan1)n1，有 將G(a)163。A(a)應(yīng)用于n個(gè)正數(shù)：an，（a1a2Lan1）14444444244444443n1個(gè)an+(n1)(a1a2Lan1)n1n179。(a1a2Lan)n，即an+(n1)(a1a2Lan1)n1179。n(a1a2Lan)n．所以y(n)179。y(n1)，當(dāng)且僅當(dāng)an=(a1a2Lan1)立．n1，即ann1=a1a2Lan時(shí)等號成1此題不只是公式的直接應(yīng)用．代表了均值不等式中需要挖掘信L、an 的一類題． 息找aa例2設(shè)x+y+z=0，求證：6(x3+y3+z3)2163。(x2+y2+z2)3． 證明當(dāng)x=y=z=0時(shí)不等式顯然成立．除此情況外，x、y、z中至少有一正一負(fù)．不妨設(shè)xy0，因?yàn)閦=(x+y)，所以I=6(x+y+z)=6[x+y(x+y)]=6[3xy(x+y)]=54xyz．若由此直接用G(a)163。A(a)(n=3)，只能得到較粗糙的不等式I=54xyz163。54（x+y+z2)=2(x+y+z)，32223如果改用下面的方法，用G(a)163。A(a)，便得I=54xyz222=216xy2xy2z230。xy246。xy2231。++z247。247。=(2z2+2xy)3，163。216231。231。247。3231。247。232。248。再注意到x2+y2=(x+y)22xy=z2+2xy，因而2z2+2xy=x2+y2+z2，于是即得欲證的不等式．此題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造aaL、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的?？碱愵}． 例3設(shè)x0，證明：2x+2x179。22x．(第16屆全蘇數(shù)學(xué)競賽試題[2])證明此不等式的外形有點(diǎn)像均值不等式． 由G(a)163。A(a)，得x+2xx+2x179。22x2x=22，又x+2x1111179。(x12x4)2=x6，即得要證的不等式．結(jié)語有些不等式則可以利用某個(gè)已經(jīng)證明成立的不等式來證明(因此多熟悉幾個(gè)比較常見的不等式是有好處的)；有些不等式還要用數(shù)學(xué)歸納法來證明等等．而且在一個(gè)題目的證明過程中，也往往不止應(yīng)用一種方法，而需要靈活運(yùn)用各種方法．因此，要培養(yǎng)和提高自己的證題能力。參考文獻(xiàn)[1]陳傳理等編．?dāng)?shù)學(xué)競賽教程 [M]．北京：高等教育出版設(shè)，1996，(10)：133134．[2]常庚哲等編．高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1987．3849
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