巧用二元均值不等式證明一組優(yōu)美不等式-文庫吧
2024-11-05 23:06 本頁面
【正文】 +cab+acb+abcb+bcbca+caba++abc+=（（Qa++b+c）+（cab+abca+a+abcc）+（bca）179。3(a+b+c)abc179。a+b+c）bcacab179。2c，179。2a，+179。2b，\bccab第二篇：常用均值不等式及證明證明常用均值不等式及證明證明這四種平均數(shù)滿足Hn163。Gn163。An163。QnL、anaa206。R+，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an時(shí)取“=”號僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個(gè)簡單結(jié)論，中學(xué)常用均值不等式的變形：(1)對實(shí)數(shù)a,b，有a2+b2179。2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)，a,b02ab(4)對實(shí)數(shù)a,b，有a(ab)179。b(ab)a2+b2179。2ab179。0(5)對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有(8)對實(shí)數(shù)a,b,c，有a2+b2+c2179。ab+bc+aca+b+c179。abc(10)對實(shí)數(shù)a,b,c，有均值不等式的證明：方法很多，數(shù)學(xué)歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)179。An+nA(n1)Bn注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。當(dāng)n=2時(shí)易證；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)ak+1是則設(shè)a1,a2,L,ak+1中最大者，kak+1179。a1+a2+L+ak+1 s=a1+a2+L+ak用歸納假設(shè)下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)f(x),x1,x2,L,xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，設(shè)f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）第三篇：均值不等式證明均值不等式證明一、已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1求證xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2當(dāng)且僅當(dāng)xy=1/xy時(shí)取等也就是xy=1時(shí)畫出xy+1/xy圖像得01時(shí)，單調(diào)增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得證繼續(xù)追問：拜托，用單調(diào)性誰不會，讓你用均值定理來證補(bǔ)充回答：我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二：證xy+1/xy≥17/4即證4(xy)178。17xy+4≥0即證(4xy1)(xy4)≥0即證xy≥4，xy≤1/4而x,y∈R+，x+y=1顯然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得證法三：∵同理0xy+1/xy17/4=(4x178。y178。417xy)/4xy=(14xy)(4xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!二、已知abc，求證：1/(
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