巧用二元均值不等式證明一組優(yōu)美不等式(已修改)
2025-10-31 23:06 本頁(yè)面
【正文】 第一篇：巧用二元均值不等式證明一組優(yōu)美不等式巧用二元均值不等式證明不等式江蘇省常熟市中學(xué)査正開 215500*** zhazhengkai3@二元均值不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。利用二元均值不等式求函數(shù)的最值和求參數(shù)的范圍問題一直是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)二元均值不等式也是證明不等式的利器。本文將利用二元均值不等式來巧證兩組優(yōu)美不等式，供參考。題1已知a,b,c206。R+，則（1）（2）（3）bbc+caaab+bacac+aa+cac+ab+aab+bc179。a+b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)+++bbc+cbaab+bb+cca+acbbc+cc179。a+b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)+179。a+b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)證明：（1）Qa,b,c206。R\bbc+c=(b+c)bc3179。b(+c\bbc+ca2)b+(c=)(b+c)4+a179。(b+c)4a+a179。b+caab+bc同理\cac+ab+b179。a+c\+c179。a+b三式相加，再注意等號(hào)成立條件，即得原不等式成立。（2）證法1：仿（1）證法2：aab+ba+bbc+cb+cca+acab=abac+bcbc+ca+=+cabcabcQa+\a+bba179。2bb+c+bbb179。2cc+c179。2aba+cac2179。b2+c2+ a 即a+cb+ac179。b+c+a故原不等式成立（3）證法仿（1）（2）,b,c206。R+，則（1）（2）（3）a+ab+bac+ca+aab+bc+ca+++b+bc+cba+ab+bb+++c+ca+acb+bc+cca+ab+bc179。3(a+b+c)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)179。3(a+b+c)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)c+ca+ab222179。3(a+b+c)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)證明：（1）證法1：左=a+b+b=2(a+b+c)aba+b+c+cbcb+c+a+179。3(a+bacac+c)（由1（2）結(jié)論）證法2：a2+ab+b2179。\a+ab+ba(a+b)179。3(a+b)4a同理：(a+b)4ab+bc+cb179。3(b+c)4bc+ca+ac(c+a)4c179。3(c+a)4c+a179。a+b(b+c)4b(c+a)4c+b179。b+c+c179。c+a(a+b)4a+(b+c)4bbb+179。a+b+c\a+ab+ba+b+bc+c+c+ca+ac179。3(a+b+c)（2）證明仿（1）（3）證明：左=ab+bcac+ca+acb+cab
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