比較法證明不等式-資料下載頁(yè)
2024-11-06 07:34本頁(yè)面
【正文】 179。0247。2248。4232。22所以a2+b2+c2179。ab+bc+ac。方法三：(a2+b2+c2)(ab+bc+ac)=a2(b+c)a+b2+c2bcD=(b+c)4(b+cbc)0所以(a2+b2+c2)(ab+bc+ac)179。0，所以a2+b2+c2179。ab+bc+ac。思考題：已知a,b206。R，求證：a2+b2+1179。a+b+ab。方法一：作差整理成關(guān)于a的二次式，再配方。方法二：作差整理成關(guān)于a的二次式，再用D證明。例2．（2000年上海春季高考題）設(shè)函數(shù)f(x)=|lgx|，若0ab且f(a)f(b)，證明：ab1。解法指導(dǎo):利用等價(jià)命題證明。證明：f(a)f(b)?|lga||lgb|?|lga|2|lgb|2?lg2a?(lgalgb)(lgalgb)0圩lg(ab)lgababab0lgb0，因?yàn)?ab，所以0例3．某收購(gòu)站分兩個(gè)等級(jí)收購(gòu)小麥，一等小麥a元/kg，二等小麥b元/kg(ba)。現(xiàn)有一等品小麥xkg，二等品小麥y(cè)kg。若以兩種價(jià)格的平均數(shù)收購(gòu)，是否公平合理？ 解：平均價(jià)格為a+b2元/kg4。如以此價(jià)格統(tǒng)一收購(gòu)，則收購(gòu)費(fèi)用為a+b2(x+y)元；而原定方案收購(gòu)費(fèi)用為（ax+by）元。因?yàn)?ax+by)a+b2(x+y)=(ab)(xy)。又因?yàn)閎a，所以ab0，所以（1）若xy，則收購(gòu)站得利；（2）當(dāng)x=y時(shí)，兩種方案費(fèi)用一樣；（3）當(dāng)xy時(shí)，則收購(gòu)站吃虧。例4．已知函數(shù)f(x)=logax(a0,a185。1,x206。R+)，如x1,x2206。R+，判斷[f(x1)+f(x2)]與f(x1+x2212)的大小并加以證明。x1+x22x1+x22179。)=logalogax1+x2解：[f(x1)+f(x2)]—f(=[logax1+logax2]loga1因?yàn)閤1,x2206。R+，所以x1+x2x1=x2時(shí)取等號(hào)。（1）當(dāng)a1時(shí)，12[f(x1)+f(x2)]163。f(1x1+x222)；)。（2）當(dāng)0a1時(shí)，[f(x1)+f(x2)]179。f（x1+x2【能力訓(xùn)練】一、選擇題： 1．已知a0,a?1,P（）（A）PQ（B）Pa+b”的（）（A）充分條件（B）必要不充分條件（C）充分不必要條件（D）既不充分又不必要條件3．現(xiàn)給出下列三個(gè)不等式：(1)a+12a。(2)a+b2(ab2loga(aa+1),Q=loga(aa+1)，則P與Q的大小關(guān)系為32)。(3)(a+b)(c+d)(ac+bd)，其中恒成立的不等式共有（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè),z2且M=z1z2+z1z2,N=z1z1+z2z2,則M、N的大小關(guān)系為（）（A）M179。N（B）MN（C）M163。N（D）不能比較大小二、填空題： 5．若a0,a刮1,m,n驏N*，則1+am+n_________am+an（比較大?。247。6．當(dāng)x206。231。0,247。時(shí)，1cosx________sinx（比較大小）231。231。桫2247。7．設(shè)x?R+,P2+2xx,Q=(sinx+cosx)，則P、Q之間的大小關(guān)系為________。8．設(shè)x206。R，則1+2x4______2x3+x2（比較大?。?。三、解答題： 9．設(shè)a,b,c?R+,abbc+ac=1，證明：a+b+c。10．設(shè)a0,b0,證明下列不等式。（1）a2+b2+2?2a2b（211．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，++2+1。Sn是其前n項(xiàng)的和。證明：
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