數(shù)學(xué)歸納法(20xx教案)-資料下載頁(yè)
2025-08-04 16:36本頁(yè)面
【正文】 ∈N*命題成立． 閱卷報(bào)告——由于方法選擇不當(dāng)導(dǎo)致失誤【問(wèn)題診斷】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)，其難點(diǎn)在于歸納假設(shè)后，如何推證對(duì)下一個(gè)正整數(shù)值命題也成立.【防范措施】 ，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，這里可以使用綜合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用數(shù)學(xué)歸納法.【示例】? 在數(shù)列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：＋＋…＋＜.實(shí)錄 (1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜測(cè)an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，由上可得結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立．錯(cuò)因 第二問(wèn)由于不等式的右端為常數(shù)，結(jié)論本身是不能用數(shù)學(xué)歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強(qiáng)不等式后，用數(shù)學(xué)歸納法證明．(2)當(dāng)n＝1時(shí)＝＜假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)不等式成立即＋＋…＋＜當(dāng)n＝k＋1時(shí) ＋＋…＋＋＜＋到此無(wú)法用數(shù)學(xué)歸納法證明．正解 (1)用實(shí)錄(1)(2)證明：＝＜.n≥2時(shí)，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故＋＋…＋＜＋＝＋＝＋＜＋＝.綜上，原不等式成立．總結(jié)提高數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行的演繹推理，其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理)：設(shè)M是正整數(shù)集合的子集，且具有如下性質(zhì)：①1∈M；②若k∈M，則k＋1∈M，那么必有M＝N*成立.數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推的數(shù)學(xué)思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，通過(guò)對(duì)兩個(gè)命題的證明替代了無(wú)限多次的驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了有限與無(wú)限的辯證統(tǒng)一.從近幾年的高考試題來(lái)看，比較注重于對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的思想本質(zhì)的考查，如“歸納、猜想、證明”，可覆蓋代數(shù)命題、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何命題、關(guān)鍵是“湊形”以便運(yùn)用歸納假設(shè)的條件.2015屆高三復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法 第 7 頁(yè) 共 7 頁(yè)
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