數(shù)學(xué)歸納法(20xx教案)-資料下載頁
2025-08-04 16:36本頁面
【正文】 ∈N*命題成立． 閱卷報告——由于方法選擇不當導(dǎo)致失誤【問題診斷】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題時，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項，其難點在于歸納假設(shè)后，如何推證對下一個正整數(shù)值命題也成立.【防范措施】 ，通過適當?shù)淖儞Q達到這個目標，這里可以使用綜合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用數(shù)學(xué)歸納法.【示例】? 在數(shù)列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：＋＋…＋＜.實錄 (1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當n＝1時，由上可得結(jié)論成立．②假設(shè)當n＝k(k≥1且k∈N*)時，結(jié)論成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么當n＝k＋1時，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2，所以當n＝k＋1時，結(jié)論也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立．錯因 第二問由于不等式的右端為常數(shù)，結(jié)論本身是不能用數(shù)學(xué)歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強不等式后，用數(shù)學(xué)歸納法證明．(2)當n＝1時＝＜假設(shè)n＝k(k∈N*)時不等式成立即＋＋…＋＜當n＝k＋1時 ＋＋…＋＋＜＋到此無法用數(shù)學(xué)歸納法證明．正解 (1)用實錄(1)(2)證明：＝＜.n≥2時，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故＋＋…＋＜＋＝＋＝＋＜＋＝.綜上，原不等式成立．總結(jié)提高數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，它是在歸納的基礎(chǔ)上進行的演繹推理，其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理)：設(shè)M是正整數(shù)集合的子集，且具有如下性質(zhì)：①1∈M；②若k∈M，則k＋1∈M，那么必有M＝N*成立.數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個步驟體現(xiàn)了遞推的數(shù)學(xué)思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，通過對兩個命題的證明替代了無限多次的驗證，實現(xiàn)了有限與無限的辯證統(tǒng)一.從近幾年的高考試題來看，比較注重于對數(shù)學(xué)歸納法的思想本質(zhì)的考查，如“歸納、猜想、證明”，可覆蓋代數(shù)命題、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何命題、關(guān)鍵是“湊形”以便運用歸納假設(shè)的條件.2015屆高三復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法 第 7 頁 共 7 頁
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