題目選修ⅱ概率與統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)歸納法-資料下載頁
2025-06-07 22:55本頁面
【正文】 n－1）lga證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，即f（k）=（k2－k－1）lga，則n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（k2－k－1+k）lga=［（k+1）2－（k+1）－1］lga∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立綜合（1）（2）可知，存在實(shí)數(shù)α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn2+βn－1）lga對任意n∈N*都成立11已知數(shù)列｛ｂn｝是等差數(shù)列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．（1）求數(shù)列｛ｂn｝的通項(xiàng)公式ｂn；（2）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an＝lg（1＋），記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgｂn＋1的大小，并證明你的結(jié)論．解：（1）容易得ｂn＝2n－1（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋）＋…＋lg（１＋）＝lg（１＋１）（１＋）…（１＋）又1gbn＋１＝1g，因此要比較Sn與1gbn＋１的大小，可先比較（1＋１）（１＋）…（１＋）與的大小取n=1，2，3可以發(fā)現(xiàn)：前者大于后者，由此推測（1+1）（1+） … （１＋）＞ ①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上面猜想：當(dāng)n=1時(shí)，不等式①成立假設(shè)n=k時(shí)，不等式①成立，即（1＋1）（1＋）…（１＋）＞那么n=k+1時(shí)，（１＋１）（１＋）…（１＋）（１＋）＞（１＋）＝又［］2－（）2＝＞０，∴＞=∴當(dāng)n=k+1時(shí)①成立綜上所述，n∈N*時(shí)①成立．由函數(shù)單調(diào)性可判定Sn＞1gbn＋１12平面內(nèi)有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成（n2+n+2）塊證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，1條直線把平面分成2塊，又（12+1+2）=2，命題成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，k≥1命題成立，即k條滿足題設(shè)的直線把平面分成（k2+k+2）塊，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線被k條直線分成k+1段，每段把它們所在的平面塊又分成了2塊，因此，增加了k+1個(gè)平面塊所以k+1條直線把平面分成了（k2+k+2）+k+1= ［（k+1） 2+（k+1）+2］塊，這說明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立由（1）（2）知，對一切n∈N*，命題都成立13設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+ （n=1，2，…）（1）證明an＞對一切正整數(shù)n都成立；（2）令bn= （n=1，2，…），判定bn與bn+1的大小，并說明理由（1）證法一：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2＞，不等式成立假設(shè)n=k時(shí)，ak＞成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+12=ak2++2＞2k+3+＞2（k+1）+1，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1＞成立綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知，an＞對一切正整數(shù)成立證法二：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2＞=結(jié)論成立假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak＞，當(dāng)n=k+1時(shí)，由函數(shù)f（x）=x+（x＞1）的單調(diào)遞增性和歸納假設(shè)有ak+1=ak+＞+ ===＞=∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立因此，an＞對一切正整數(shù)n均成立（2）解：==（1+）＜（1+） = = =＜1故bn+1＜bn
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