題目選修ⅱ概率與統(tǒng)計數(shù)學歸納法-資料下載頁
2025-06-07 22:55本頁面
【正文】 n－1）lga證明：（1）當n=1時，顯然成立（2）假設(shè)n=k時成立，即f（k）=（k2－k－1）lga，則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（k2－k－1+k）lga=［（k+1）2－（k+1）－1］lga∴當n=k+1時，等式成立綜合（1）（2）可知，存在實數(shù)α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn2+βn－1）lga對任意n∈N*都成立11已知數(shù)列｛ｂn｝是等差數(shù)列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．（1）求數(shù)列｛ｂn｝的通項公式ｂn；（2）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項an＝lg（1＋），記Sn為｛an｝的前n項和，試比較Sn與lgｂn＋1的大小，并證明你的結(jié)論．解：（1）容易得ｂn＝2n－1（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋）＋…＋lg（１＋）＝lg（１＋１）（１＋）…（１＋）又1gbn＋１＝1g，因此要比較Sn與1gbn＋１的大小，可先比較（1＋１）（１＋）…（１＋）與的大小取n=1，2，3可以發(fā)現(xiàn)：前者大于后者，由此推測（1+1）（1+） … （１＋）＞ ①下面用數(shù)學歸納法證明上面猜想：當n=1時，不等式①成立假設(shè)n=k時，不等式①成立，即（1＋1）（1＋）…（１＋）＞那么n=k+1時，（１＋１）（１＋）…（１＋）（１＋）＞（１＋）＝又［］2－（）2＝＞０，∴＞=∴當n=k+1時①成立綜上所述，n∈N*時①成立．由函數(shù)單調(diào)性可判定Sn＞1gbn＋１12平面內(nèi)有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點，求證：這n條直線把平面分割成（n2+n+2）塊證明：（1）當n=1時，1條直線把平面分成2塊，又（12+1+2）=2，命題成立（2）假設(shè)n=k時，k≥1命題成立，即k條滿足題設(shè)的直線把平面分成（k2+k+2）塊，那么當n=k+1時，第k+1條直線被k條直線分成k+1段，每段把它們所在的平面塊又分成了2塊，因此，增加了k+1個平面塊所以k+1條直線把平面分成了（k2+k+2）+k+1= ［（k+1） 2+（k+1）+2］塊，這說明當n=k+1時，命題也成立由（1）（2）知，對一切n∈N*，命題都成立13設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+ （n=1，2，…）（1）證明an＞對一切正整數(shù)n都成立；（2）令bn= （n=1，2，…），判定bn與bn+1的大小，并說明理由（1）證法一：當n=1時，a1=2＞，不等式成立假設(shè)n=k時，ak＞成立，當n=k+1時，ak+12=ak2++2＞2k+3+＞2（k+1）+1，∴當n=k+1時，ak+1＞成立綜上，由數(shù)學歸納法可知，an＞對一切正整數(shù)成立證法二：當n=1時，a1=2＞=結(jié)論成立假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即ak＞，當n=k+1時，由函數(shù)f（x）=x+（x＞1）的單調(diào)遞增性和歸納假設(shè)有ak+1=ak+＞+ ===＞=∴當n=k+1時，結(jié)論成立因此，an＞對一切正整數(shù)n均成立（2）解：==（1+）＜（1+） = = =＜1故bn+1＜bn
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